分析 (1)求出導(dǎo)函數(shù),確定f′(1)=0,即可求y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程;
(2)令f′(x)=0得x=12或x=a,利用f(x)在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)函數(shù),即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)將恒成立的不等式變形,分離出a,構(gòu)造函數(shù),求出函數(shù)的單調(diào)性,求出最大值令a小于等于最大值即可.
解答 解:(1)a=1,f(x)=x2-3x+lnx,∴f′(x)=2x-3+1x,f(1)=-2,
∴f′(1)=0,
∴y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程為y+2=0;
(2)f′(x)=(2x−1)(x−a)x
令f′(x)=0得x=12或x=a.
∵f(x)在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)函數(shù),
∴a≥2或a≤1;
(3)令x2-(a+2)x+alnx≥0在[1,e]上有解.
即x2-2x≥a(x-lnx),由于x-lnx在[1,e]上為正數(shù)
∴問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≤x2−2xx−lnx在[1,e]上有解
令h(x)=x2−2xx−lnx,下求此函數(shù)在[1,e]的最大值
由于h′(x)=(x−1)(x+2−2lnx)(x−lnx)2>0成立,∴h(x)=x2−2xx−lnx在[1,e]上是增函數(shù),
∴h(x)max=h(e)=e2−2ee−1
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤e2−2ee−1.
點(diǎn)評(píng) 解決不等式有解問(wèn)題,常用的方法是分離參數(shù),構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值;解決不等式恒成立問(wèn)題也是分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.
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