Processing math: 100%
16.已知函數(shù)f(x)=x2-(2a+1)x+alnx(a∈R).
(1)若a=1,求y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程;
(2)若f(x)在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)函數(shù)g(x)=(1-a)x,若?x0∈[1,e]使得f(x0)≥g(x0)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)求出導(dǎo)函數(shù),確定f′(1)=0,即可求y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程;
(2)令f′(x)=0得x=12或x=a,利用f(x)在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)函數(shù),即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)將恒成立的不等式變形,分離出a,構(gòu)造函數(shù),求出函數(shù)的單調(diào)性,求出最大值令a小于等于最大值即可.

解答 解:(1)a=1,f(x)=x2-3x+lnx,∴f′(x)=2x-3+1x,f(1)=-2,
∴f′(1)=0,
∴y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程為y+2=0;
(2)f′(x)=2x1xax
令f′(x)=0得x=12或x=a.
∵f(x)在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)函數(shù),
∴a≥2或a≤1;
(3)令x2-(a+2)x+alnx≥0在[1,e]上有解.
即x2-2x≥a(x-lnx),由于x-lnx在[1,e]上為正數(shù)
∴問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≤x22xxlnx在[1,e]上有解
令h(x)=x22xxlnx,下求此函數(shù)在[1,e]的最大值
由于h′(x)=x1x+22lnxxlnx2>0成立,∴h(x)=x22xxlnx在[1,e]上是增函數(shù),
hxmax=he=e22ee1
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤e22ee1

點(diǎn)評(píng) 解決不等式有解問(wèn)題,常用的方法是分離參數(shù),構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值;解決不等式恒成立問(wèn)題也是分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

6.已知數(shù)列{an}中,a1=45,an+1={2an0an122an112an1,則a2015=( �。�
A.15B.25C.35D.45

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

7.在△ABC中,M1,M2分別是邊BC,AC的中點(diǎn),AM1與BM2相交于點(diǎn)G,BC的垂直平分線(xiàn)與AB交于點(diǎn)N,且NGNC-NGNB=16BC2,則△ABC是(  )
A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.任意三角形

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

4.已知f(x)是定義在[-2,2]上的奇函數(shù),當(dāng)x∈[-2,0)時(shí),f(x)=-ax2-ln(-x)+1,a∈R.
(1)當(dāng)a=12時(shí),求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程;
(2)若對(duì)于(0,2]上任意的x,都有|f(x)+x|≥1成立,求實(shí)數(shù)a的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

11.已知某幾何體的三視圖如圖所示(其中正視圖為等腰直角三角形),則該幾何體的外接球的表面積為( �。�
A.12πB.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

1.若m1(2x-1)dx=6,則二項(xiàng)式(1-2x)3m的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和為-1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出S的值是( �。�
A.0B.33C.3D.3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

5.在平面直角坐標(biāo)系中xOy中,角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與x軸的正半軸重合,終邊交單位圓于點(diǎn)A,且α∈[π4,π2],將角α的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)π3,交單位圓于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸于C,
(1)若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為32,求B點(diǎn)的橫坐標(biāo);
(2)求△AOC的面積S的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

6.已知f(x)=ax1x2,其中a>0.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若直線(xiàn)x-y-1=0是曲線(xiàn)y=f(x)的切線(xiàn),求實(shí)數(shù)a的值;
(3)設(shè)g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案