Question

如圖2所示，在邊長為12的正方形AA'A'₁A₁中，點B，C在線段AA'上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分別交A₁A'₁、AA'₁于點B₁、P，作CC₁∥AA₁，分別交A₁A'₁、AA'₁于點C₁、Q，將該正方形沿BB₁、CC₁折疊，使得A'A₁′與AA₁重合，構(gòu)成如圖3所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求證：AB⊥平面BCC₁B₁．
（2）求平面APQ將三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下兩部分幾何體的體積之比．
（3）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求直線AP與直線A₁Q所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，證明AB垂直平面BCC₁B₁內(nèi)的兩條相交直線BC、BB₁即可．
（2）說明AB為四棱錐A-BCQP的高，求出梯形BCQP的面積，即可求出平面APQ將三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上部分的體積；同理求出下部分幾何體的體積，即可得到它們之比．
（3）AB，BC，BB₁兩兩互相垂直．以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系B-xyz，求出

AP

，

A1Q

，利cos＜

AP

，

A1Q

＞求直線AP與直線A₁Q所成角的余弦值．

解答：解：（1）證明：在正方形AA'A'₁A₁中，∵A'C=AA'-AB-BC=5，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面三角形ABC的邊AC=5．∵AB=3，BC=4，
∴AB²+BC²=AC²，則AB⊥BC．∵四邊形AA'A'₁A₁為正方形，AA₁∥BB₁，
∴AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，∴AB⊥平面BCC₁B₁．
（2）解：∵AB⊥平面BCC₁B₁，∴AB為四棱錐A-BCQP的高．
∵四邊形BCQP為直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，
∴梯形BCQP的面積為SBCQP=

1

2

(BP+CQ)×BC=20，
∴四棱錐A-BCQP的體積VA-BCQP=

1

3

SBCPQ×AB=20，
由（1）知B₁B⊥AB，B₁B⊥BC，且AB∩BC=B，∴B₁B⊥平面ABC．
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直棱柱，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為VABC-A1B1C1=S△ABC•BB1=72．
故平面APQ將三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下兩部分的體積之比為

72-20

20

=

13

5

．
（3）解：由（1）、（2）可知，AB，BC，BB₁兩兩互相垂直．
以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系B-xyz，
則A（3，0，0），A₁（3，0，12），P（0，0，3），Q（0，4，7），
∴

AP

=(-3，0，3)，

A1Q

=(-3，4，-5)，∴cos＜

AP

，

A1Q

＞=

AP • A1Q

| AP || A1Q |

=-

1

5

，
∵異面直線所成角的范圍為(0，

π

2

]，
∴直線AP與A₁Q所成角的余弦值為

1

5

．

點評：本小題主要考查空間幾何體中線面的位置關(guān)系，面積與體積，空間向量等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和運算求解能力．