Question

如圖正方形ABCD和四邊形ADEF所在的平面垂直，F(xiàn)A⊥AD，DE∥FA，且，G是FC的中點．
（1）求證：EG⊥平面ACF；
（2）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AF中點H，連接GH，EH，由正方形ABCD和四邊形ADEF所在的平面垂直，F(xiàn)A⊥AD，DE∥FA，且，G是FC的中點，得到EH=AH=FH=CD=DE=1，EH⊥AF，ED⊥CD，GH∥AC，CE=EF=AC=，GH=，故EG⊥CF，再由EG²+GH²=EH²，知EG⊥GH，由此能夠證明EG⊥平面ACF．
（2）連接FD，則多面體ABCDEF的體積：V_ABCDEF=V_F-CDE+V_F-ABCD，由V_F-CDE=，V_F-ABCD=，能求出多面體ABCDEF的體積．
解答：解：（1）取AF中點H，連接GH，EH，
∵正方形ABCD和四邊形ADEF所在的平面垂直，
FA⊥AD，DE∥FA，且，G是FC的中點，
∴EH=AH=FH=CD=DE=1，EH⊥AF，ED⊥CD，GH∥AC，
∴CE=EF=AC==，GH==，
∴EG⊥CF，
∵FC===，
∴EG===，
∵EH=1，∴EG²+GH²=EH²，
∴EG⊥GH，
又∵CF∩GH=G，
∴EG⊥平面ACF．
（2）連接FD，則多面體ABCDEF的體積：
V_ABCDEF=V_F-CDE+V_F-ABCD
=+
=+
=
=．
點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查多面體體積的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意中位線、勾股定理、等積法等知識點的合理運用．