Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）．
（1）求證：f（-$\frac{a}{2}$+1）≤f（a²+$\frac{5}{4}$）；
（2）①求：f（1）+f（3）-2f（2）； 
②求證：|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一個不小于$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的對稱軸為x=-$\frac{a}{2}$，函數(shù)在（-$\frac{a}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，即可證明結論；
（2）①根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，分別將x=1，2，3代入求得f（1），f（3），f（2），進而求得f（1）+f（3）-2f（2）；
②“至少有一個不小于”的反面情況較簡單，比較方便證明，故從反面進行證明，用反證法．

解答 證明：（1）函數(shù)的對稱軸為x=-$\frac{a}{2}$，函數(shù)在（-$\frac{a}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增．
∵a²+$\frac{5}{4}$-（-$\frac{a}{2}$+1）=（a+$\frac{1}{2}$）²≥0，
∴a²+$\frac{5}{4}$≥-$\frac{a}{2}$+1
∴f（-$\frac{a}{2}$+1）≤f（a²+$\frac{5}{4}$）；
（2）①∵f（x）=x²+ax+b，
∴f（1）=1+a+b，f（2）=4+2a+b，f（3）=9+3a+b
∴f（1）+f（3）-2f（2）=（1+a+b）+（9+3a+b）-2（4+2a+b）=2；
②假設|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于$\frac{1}{2}$，
則：|f（1）|＜$\frac{1}{2}$，|f（2）|＜$\frac{1}{2}$，|f（3）|＜$\frac{1}{2}$，
即有-$\frac{1}{2}$＜f（1）＜$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$＜f（2）＜$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$＜f（3）＜$\frac{1}{2}$，
∴-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2
由（1）可知f（1）+f（3）-2f（2）=2，
與-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2矛盾，
∴假設不成立，即原命題成立．

點評 反證法是一種從反面的角度思考問題的證明方法，體現(xiàn)的原則是正難則反．反證法的基本思想：否定結論就會導致矛盾，證題模式可以簡要的概括為“否定→推理→否定”．