Question

16．如圖是某圓拱橋的示意圖．這個圓拱橋的水面跨度AB=24m，拱高OP=8m．現(xiàn)有一船，寬10m，水面以上高6m，這條船能從橋下通過嗎？為什么？

Answer 1

分析 建立適當平面直角坐標系，如圖所示，得出A，B，P，D，E各點坐標，設出圓的標準方程，將A，B，P坐標代入確定出這座圓拱橋的拱圓方程，把D橫坐標代入求出縱坐標，與6比較即可作出判斷．

解答 解：建立如圖所示的坐標系，依題意，有A（-12，0），B（12，0），P（0，8），D（-5，0），E（5，0），
設所求圓的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，
于是有$\left\{\begin{array}{l}{（{a+12}）^2}+{b^2}={r^2}\\{（{a-12}）^2}+{b^2}={r^2}\\{a^2}+{（{b-8}）^2}={r^2}\end{array}\right.$，
解此方程組得a=0，b=-5，r=13，
∴這座圓拱橋的拱圓的方程是x²+（y+5）²=169（0≤y≤8），
把點D的橫坐標x=-5代入上式，得y=7，
∵船在水面以上高6m，6＜7，
∴該船可以從橋下通過．

點評 此題考查了直線與圓的方程的應用，以及圓的標準方程，確定出這座圓拱橋的拱圓的方程是解本題的關鍵．