某同學(xué)在研究函數(shù)y=f(x)(x≥1,x∈R)的性質(zhì),他已經(jīng)正確地證明了函數(shù)f(x)滿足:f(3x)=3f(x),并且當(dāng)1≤x≤3時(shí),f(x)=1-|x-2|,這樣對任意x≥1,他都可以求f(x)的值了.則
(1)f(8)=________;
(2)集合M={x|f(x)=f(99)}中最小的元素是________.

解:(1)∵當(dāng)1≤x≤3時(shí),f(x)=1-|x-2|,
∴當(dāng)3≤x≤9時(shí),f()=1-|-2|,可得f()=1-|-2|=,
又∵對任意x≥1,都有f(3x)=3f(x),
∴f(8)=3f()=1
(2)根據(jù)題意,得
當(dāng)3≤x≤9時(shí),f(x)=3f()=3-|3x-6|;
當(dāng)9≤x≤27時(shí),f()=3-|3•-6|=3-|x-6|,此時(shí)f(x)=3f()=9-|3x-18|;
當(dāng)27≤x≤81時(shí),f()=9-|3•-18|=9-|x-18|,此時(shí)f(x)=3f()=27-|3x-54|;
當(dāng)81≤x≤243時(shí),f()=27-|3•-54|=27-|x-54|,此時(shí)f(x)=3f()=81-|3x-162|.
由此可得f(99)=81-|3×99-162|=-54
接下來解方程f(x)=-54:
當(dāng)27≤x≤81時(shí),27-|3x-54|=-54,得3x-54=±81,所以x=45(舍負(fù));
當(dāng)9≤x≤27時(shí),9-|3x-18|=-54,得3x-18=±63,找不到符合條件的x;
當(dāng)3≤x≤9時(shí),3-|3x-6|=-54,得3x-6=±57,找不到符合條件的x.
因此集合M={x|f(x)=f(99)}中最小的元素是45
故答案為:1 45
分析:(1)當(dāng)3≤x≤9時(shí),f()=1-|-2|,得到f()=,再根據(jù)f(3x)=3f(x),得到f(8)=3f()=1.
(2)根據(jù)題意,求出當(dāng)3≤x≤9時(shí)的表達(dá)式,同理求出當(dāng)9≤x≤27時(shí)、當(dāng)27≤x≤81時(shí)和當(dāng)81≤x≤243時(shí)的表達(dá)式,從而得到f(99)=-54,然后解方程f(x)=-54,即可得到集合M={x|f(x)=f(99)}中最小的元素.
點(diǎn)評:本題以一個(gè)特殊函數(shù)為例,叫我們討論方程的最小正數(shù)解,著重考查了函數(shù)的定義、分段函數(shù)和方程根的分布等知識,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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某同學(xué)在研究函數(shù)y=f(x)(x≥1,x∈N)的性質(zhì),他已經(jīng)正確地證明了函數(shù)f(x)滿足:f(3x)=3f(x),
并且當(dāng)1≤x≤3時(shí),f(x)=[1-|x-2|],這樣對任意x≥1,他都可以求f(x)的值了,比如f(3×
8
3
)=3f(
8
3
)=3[1-|
8
3
-2|]=1,f(54)=33f(
54
33
)=27,請你根據(jù)以上信息,求出集合M={x|f(x)=f(99)}中最小的元素是
 

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(1)f(8)=
 
;
(2)集合M={x|f(x)=f(99)}中最小的元素是
 

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并且當(dāng)1≤x≤3時(shí),f(x)=[1-|x-2|],這樣對任意x≥1,他都可以求f(x)的值了,比如f(3×)=3f()=3[1-|-2|]=1,f(54)=33f()=27,請你根據(jù)以上信息,求出集合M={x|f(x)=f(99)}中最小的元素是   

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并且當(dāng)1≤x≤3時(shí),f(x)=[1-|x-2|],這樣對任意x≥1,他都可以求f(x)的值了,比如f(3×)=3f()=3[1-|-2|]=1,f(54)=33f()=27,請你根據(jù)以上信息,求出集合M={x|f(x)=f(99)}中最小的元素是   

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