Question

若方程x=ke^x有兩個零點，則k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：導數的綜合應用

分析：分別討論k的取值范圍，結合導數研究函數的極值即可得到結論．

解答： 解：若k=0，則x=0，方程只有一個解，不滿足條件，
若k＜0，則函數y=ke^x為減函數，
作出函數y=x和y=ke^x的圖象可知，此時兩個函數只有一個交點，不滿足條件．
若k＞0，設f（x）=x-ke^x，
函數的導數為f′（x）=1-ke^x，
由1-ke^x=0，即e^x=

1

k

，
交點x=ln

1

k

，
則x=ln

1

k

為函數f（x）的極大值點，
要使方程x=ke^x有兩個零點，
則只需要f（ln

1

k

）＞0，
即ln

1

k

-ke ln

1

k

=ln

1

k

-k•

1

k

=ln

1

k

-1＞0，
即

1

k

＞e，
則0＜k＜

1

e

，
故答案為：0＜k＜

1

e

點評：本題主要考查函數零點的應用，利用導數研究函數的極值是解決本題的關鍵．