Question

已知雙曲線C：

x2

4

-y²=1，P是C上的任意點(diǎn)．
（1）求證：點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)；
（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0），求|PA|的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x₀，y₀），由點(diǎn)到直線距離公式，得P到兩準(zhǔn)線的距離之積滿足d1•d2=

1

5

|x0 2-4y02|，再結(jié)合點(diǎn)P坐標(biāo)滿足雙曲線方程，代入化簡整理即可得到d1•d2=

4

5

，命題得證．
（2）由兩點(diǎn)的距離公式結(jié)合點(diǎn)P坐標(biāo)滿足雙曲線方程，化簡整理得|PA|²=

5

4

(x0-4)2+4，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出|PA|的最小值．

解答：解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），P到兩準(zhǔn)線的距離記為d₁，d₂
∵兩準(zhǔn)線為x-2y=0，x+2y=0…..2'
∴d1•d2=

|x0-2y0|

5

•

|x0+2y0|

5

=

1

5

|x0 2-4y02|…..4’
又∵點(diǎn)P在曲線C上，
∴|x02-4y02|=x02-4y02=4，得d1•d2=

4

5

（常數(shù)）
即點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)….6’
（2）設(shè)P（x₀，y₀），由平面內(nèi)兩點(diǎn)距離公式得
|PA|²=(x0-5)2+y02(x0-5)2+y02=x02-10x0+25+

x02

4

-1…8’
∵

x02

4

-y02=1，可得y02=

x02

4

-1
∴|PA|²=x02-10x0+25+

x02

4

-1=

5

4

(x0-4)2+4…..9’
又∵點(diǎn)P在雙曲線上，滿足|x₀|≥2，
∴當(dāng)x₀=4時(shí)，|PA|有最小值，|PA|_min=2….12’

點(diǎn)評：本題在雙曲線中，證明動(dòng)點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為常數(shù)并求距離最小值，著重考查了兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式和雙曲線的簡單性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．