已知y=f（x）對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．
（1）求f（0）的值；
（2）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）值，猜想f（n）表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（3）若數(shù)學(xué)公式．

解：（1）令x=y=0，則f（0）=0；
（2）f（2）=4，f（3）=9，f（4）=16，猜想f（n）=n2，
①當(dāng)n=1時，顯然成立；
②設(shè)n=k時成立，即f（k）=k2，則n=k+1時，f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=（k+1）2即=k+1時，成立
綜上知f（n）=n2，成立
（3）設(shè)
令
變形為：，因此數(shù)列是等比數(shù)列，
首項為，∴
∴
分析：（1）分別對x，y賦值0可求；
（2）利用f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，先分別求f（2），f（3），f（4）值，猜想f（n）=n2，進(jìn)而進(jìn)行證明；
（3）先求，再令，從而構(gòu)建等比數(shù)列，最后求和可證．
點評：本題是中檔題，考查數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，考查計算能力，邏輯推理能力，�？碱}型．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex，直線l的方程為y=kx+b．
（1）求過函數(shù)圖象上的任一點P（t，f（t））的切線方程；
（2）若直線l是曲線y=f（x）的切線，求證：f（x）≥kx+b對任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b對任意x∈[0，+∞）成立，求實數(shù)k、b應(yīng)滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m．
（1）若x2-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠(yuǎn)離2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）證明函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，
1
2
）對稱；
（Ⅱ）設(shè)y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù)，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在實數(shù)b，使得任給a∈[
1
4
，
1
3
]，對任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年江蘇省連云港市東�？h房山中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．

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