Question

（本小題滿分13分）

已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，且與拋物線有共同的焦點(diǎn)，橢圓的左頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線，與直線分別交于兩點(diǎn)．

   （I）求橢圓的方程；

   （Ⅱ）求線段的長(zhǎng)度的最小值；

（Ⅲ）在線段的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，橢圓上是否存在一點(diǎn)，使得的面積為，若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（本小題滿分13分）

解：（I）由已知得，拋物線的焦點(diǎn)為，則，又．

由，可得．

 故橢圓的方程為．…………………………………………4分

（Ⅱ）直線的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而．

由得．………………………………6分

設(shè)，則 ． 所以，從而．

即又，

則直線的斜率為．

由     得

所以．

故．

又，  ．

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．

所以當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度取最小值．…………………………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，．

 則直線的方程為，此時(shí)，．

若橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積等于，則點(diǎn)到直線的距離等于，

所以在平行于且與距離等于的直線上．

設(shè)直線．

則由  得．………………………………………10分

．即．

由平行線間的距離公式，得 ，

解得或（舍去）．

可求得或．…………………………………………13分