【題目】如圖所示,已知A、B、C是長軸長為4的橢圓E上的三點,點A是長軸的一個端點,BC過橢圓中心O,且,|BC|=2|AC|.
(1)求橢圓E的方程;
(2)在橢圓E上是否存點Q,使得?若存在,有幾個(不必求出Q點的坐標),若不存在,請說明理由.
(3)過橢圓E上異于其頂點的任一點P,作的兩條切線,切點分別為M、N,若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n,證明:為定值.
【答案】(1)(2)滿足條件的點Q存在,且有兩個(3)見解析,
【解析】試題分析:(1)依題意有,再根據(jù)幾何條件得三角形AOC為等腰直角三角形,即得點C的坐標,代入橢圓方程可得,(2)先用坐標化簡,得點Q在直線上,再根據(jù)直線與橢圓位置關系確定交點個數(shù),即得滿足條件的點Q個數(shù),(3)設點,先利用兩圓公共弦求切點弦MN方程,解得截距,根據(jù)點P在橢圓上化簡,得定值.
試題解析:(1)依題意知:橢圓的長半軸長,則A(2,0),
設橢圓E的方程為
由橢圓的對稱性知|OC|=|OB| 又∵,|BC|=2|AC|
∴AC⊥BC,|OC|=|AC| ∴△AOC為等腰直角三角形,
∴點C的坐標為(1,1),點B的坐標為(-1,-1) ,
將C的坐標(1,1)代入橢圓方程得
∴所求的橢圓E的方程為
(2)設在橢圓E上存在點Q,使得,設,則
即點Q在直線上,
∴點Q即直線與橢圓E的交點,
∵直線過點,而點橢圓在橢圓E的內(nèi)部,
∴滿足條件的點Q存在,且有兩個.
(3)設點,由M、N是的切點知,,
∴O、M、P、N四點在同一圓上,
且圓的直徑為OP,則圓心為,
其方程為,
即-----④
即點M、N滿足方程④,又點M、N都在上,
∴M、N坐標也滿足方程---------------⑤
⑤-④得直線MN的方程為,
令得,令得,
∴,又點P在橢圓E上,
∴,即=定值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著共享單車的成功運營,更多的共享產(chǎn)品逐步走入大家的世界,共享汽車、共享籃球、共享充電寶等各種共享產(chǎn)品層出不窮.某公司隨機抽取1000人對共享產(chǎn)品是否對日常生活有益進行了問卷調(diào)查,并對參與調(diào)查的1000人中的性別以及意見進行了分類,得到的數(shù)據(jù)如下表所示:
男 | 女 | 總計 | |
認為共享產(chǎn)品對生活有益 | 400 | 300 | 700 |
認為共享產(chǎn)品對生活無益 | 100 | 200 | 300 |
總計 | 500 | 500 | 1000 |
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為共享產(chǎn)品的態(tài)度與性別有關系?
(2)為了答謝參與問卷調(diào)查的人員,該公司對參與本次問卷調(diào)查的人員隨機發(fā)放1張超市的購物券,購物券金額以及發(fā)放的概率如下:
購物券金額 | 20元 | 50元 |
概率 |
現(xiàn)有甲、乙兩人領取了購物券,記兩人領取的購物券的總金額為,求的分布列和數(shù)學期望.
參考公式: .
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以為極點, 軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線是圓心為,半徑為1的圓.
(1)求曲線, 的直角坐標方程;
(2)設為曲線上的點, 為曲線上的點,求的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,已知點為曲線上的動點,點在線段上,且滿足,動點的軌跡為.
(1)求的直角坐標方程;
(2)設點的極坐標為,點在曲線上,求的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在四面體S﹣ABC中,SA⊥平面ABC,∠BAC=120°,SA=AC=2,AB=1,則該四面體的外接球的表面積為
A. 11π B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學為研究學生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時間的關系,對該校200名高三學生平均每天課外體育鍛煉時間進行調(diào)查,如表:(平均每天鍛煉的時間單位:分鐘)
將學生日均課外體育鍛煉時間在的學生評價為“課外體育達標”.
(1)請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表;
課外體育不達標 | 課外體育達標 | 合計 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合計 |
(2)通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“課外體育達標”與性別有關?
參考格式:,其中
0.025 | 0.15 | 0.10 | 0.005 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 2.072 | 6.635 | 7.879 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在,處取得極值.
①求、的值;
②若存在,使得不等式成立,求的最小值;
(2)當時,若在上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,以為頂點的六面體中,和均為等邊三角形,,且平面平面,平面,是的中點,連接.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)求三棱錐的體積.
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