Question

如圖，角α的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點A （x₁，y_l），將射線OA按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

2π

3

后與單位圓交于點B（x₂，y₂），f（a）=x_l-x₂．
（Ⅰ）若角α為銳角，求f（α）的取值范圍；
（Ⅱ）比較f（2）與f（3）的大�。�

Answer 1

考點：任意角的三角函數(shù)的定義,象限角、軸線角

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由三角函數(shù)的定義可得 x₁=cosα，x₂=cos（α+

2π

3

），化簡f（a）為

3

sin（α+

π

3

）．根據(jù) 

π

3

＜α+

π

3

＜

5π

6

，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（α）的范圍．
（Ⅱ）根據(jù)f（2）=

3

sin（2+

π

3

），f（3）=

3

sin（3+

π

3

），函數(shù)y=sinx在（

π

2

，

3π

2

）上是減函數(shù)，從而得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）如圖所示，∠AOB=

2π

3

，由三角函數(shù)的定義可得 x₁=cosα，x₂=cos（α+

2π

3

），
f（α）=x_l-x₂ =cosα-cos（α+

2π

3

）=cosα-cosαcos

2π

3

+sinαsin

2π

3

=

3

2

cosα+

3

2

sinα
=

3

sin（α+

π

3

）．
∵角α為銳角，∴

π

3

＜α+

π

3

＜

5π

6

，∴

1

2

＜sin（α+

π

3

）≤1，
∴

3

2

＜

3

sin（α+

π

3

）≤

3

，即f（α）的范圍是（

3

2

，

3

]．
（Ⅱ）∵f（2）=

3

sin（2+

π

3

），f（3）=

3

sin（3+

π

3

），

π

2

＜2+

π

3

＜3+

π

3

＜

3π

2

，函數(shù)y=sinx在（

π

2

，

3π

2

）上是減函數(shù)，
∴f（2）＞f（3）．

點評：本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，正弦函數(shù)的定義域和值域、單調(diào)性，屬于中檔題．