Question

（本小題滿分14分）

已知，函數。

    （1）若函數在處的切線與直線平行，求的值；

    （2）討論函數的單調性；         

    （3）在（1）的條件下，若對任意，恒成立，求實數的取值組成的集合。

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）①當時， 函數的單調增區(qū)間是和，減區(qū)間是。

②當時， 函數的單調增區(qū)間是和，減區(qū)間是。

③當時， 所以函數在定義域上是增函數。

（3）

【解析】解：（1），因為函數在處的切線與直線平行，所以，即，，所以或。

    又因為，所以。

    （2）函數的定義域為，在定義域上

    ,

    ①當時，。

當或時，；

當時，。

因此函數的單調增區(qū)間是和，減區(qū)間是。

②當時，。

當或時，；

當時，。

因此函數的單調增區(qū)間是和，減區(qū)間是。

③當時，，（只在處等于0），

所以函數在定義域上是增函數。

（3）當時，，由（2）知該函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增。因此在區(qū)間上，最小值只能在與中取到。

，

因為在上單調遞減，，

所以，所以，

因此在區(qū)間上的最小值是，

若要保證對任意，恒成立，應該有，即，解得，因此實數的取值組成的集合是。