已知函數(shù)f(x)=x2-ax+4+2lnx
(I)當(dāng)a=5時,求f(x)的單調(diào)遞減函數(shù);
(Ⅱ)設(shè)直線l是曲線y=f(x)的切線,若l的斜率存在最小值-2,求a的值,并求取得最小斜率時切線l的方程;
(Ⅲ)若f(x)分別在x1、x2(x1≠x2)處取得極值,求證:f(x1)+f(x2)<2.
【答案】分析:(I)當(dāng)a=5時,利用導(dǎo)數(shù)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,由切線l的斜率存在最小值-2,求a的值,并求取得最小斜率時切線l的方程;
(Ⅲ)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值,利用極值證明不等式.
解答:解:(I)因為函數(shù)的定義域為{x|x>0},
當(dāng)a=5時,f(x)=x2-5x+4+2lnx,==,
所以由f'(x)<0,解得,
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為().
(Ⅱ)因為x>0,所以
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號.因為直線l的斜率存在最小值-2,
所以4-a=-2,即a=6.
當(dāng)l取得最小斜率時,因為f(-1)=-1,即切點為(1,-1).
從而切線方程l:y+1=-2(x-1),即:2x+y-1=0.
(Ⅲ),
因為f(x)分別在x1、x2(x1≠x2)處取得極值,
所以x1、x2(x1≠x2)是方程,
即2x2-ax+2=0的兩個不等正根.
則△=a2-16>0解得a2>16,且
從而f(x1)+f(x2)=
=
=,
因為a2>16,所以
即不等式f(x1)+f(x2)<2成立.
點評:本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值之間的關(guān)系,運算量較大.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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