已知函數(shù)f(x)=x2-ax+4+2lnx
(I)當(dāng)a=5時,求f(x)的單調(diào)遞減函數(shù);
(Ⅱ)設(shè)直線l是曲線y=f(x)的切線,若l的斜率存在最小值-2,求a的值,并求取得最小斜率時切線l的方程;
(Ⅲ)若f(x)分別在x1、x2(x1≠x2)處取得極值,求證:f(x1)+f(x2)<2.
【答案】
分析:(I)當(dāng)a=5時,利用導(dǎo)數(shù)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,由切線l的斜率存在最小值-2,求a的值,并求取得最小斜率時切線l的方程;
(Ⅲ)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值,利用極值證明不等式.
解答:解:(I)因為函數(shù)的定義域為{x|x>0},
當(dāng)a=5時,f(x)=x
2-5x+4+2lnx,
=
=
,
所以由f'(x)<0,解得
,
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(
).
(Ⅱ)因為x>0,所以
,
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號.因為直線l的斜率存在最小值-2,
所以4-a=-2,即a=6.
當(dāng)l取得最小斜率時,因為f(-1)=-1,即切點為(1,-1).
從而切線方程l:y+1=-2(x-1),即:2x+y-1=0.
(Ⅲ)
,
因為f(x)分別在x
1、x
2(x
1≠x
2)處取得極值,
所以x
1、x
2(x
1≠x
2)是方程
,
即2x
2-ax+2=0的兩個不等正根.
則△=a
2-16>0解得a
2>16,且
.
從而f(x
1)+f(x
2)=
=
=
,
因為a
2>16,所以
.
即不等式f(x
1)+f(x
2)<2成立.
點評:本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值之間的關(guān)系,運算量較大.