Question

問是否存在實數(shù)a，b，c，使等式1²+2²+…+n²+（n-1）²+…+2²+1²=

1

3

n(an2+bn+c)成立．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：先假設存在符合題意的常數(shù)a，b，c，再令n=1，n=2，n=3構造三個方程求出a，b，c，再用用數(shù)學歸納法證明成立，證明時先證：（1）當n=1時成立．（2）再假設n=k（k≥1）時，成立，遞推到n=k+1時，成立即可．

解答： 解：假設存在a、b、c使1²+2²+3²+…n²+（n-1）²+…2²+1²=

1

3

n(an2+bn+c)對于一切n∈N^*都成立．
當n=1時，a+b+c=3；當n=2時，8a+4b+2c=18；當n=3時，9a+3b+c=19．
解得a=2，b=0，c=1．
證明如下：
①當n=1時，由以上知存在常數(shù)a、b、c使等式成立．
②假設n=k（k∈N^*）時等式成立，
即1²+2²+3²+…k²+（k-1）²+…2²+1²=

1

3

k（2k²+1）；
當n=k+1時，1²+2²+3²+…（k+1）²+k²+…2²+1²=ak（bk²+c）=

1

3

k（2k²+1）+（k+1）²+k²
=

1

3

（k+1）[2（k+1）²+1]．
即n=k+1時，等式成立．
因此存在a=2，b=0，c=1，使等式對一切n∈N^*都成立．

點評：本題主要考查研究存在性問題和數(shù)學歸納法，對存在性問題先假設存在，再證明是否符合條件，數(shù)學歸納法的關鍵是遞推環(huán)節(jié)，要符合假設的模型才能成立．