Question

已知雙曲線C的漸近線為y=±x且過點M（，1）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m，（m≠0）與雙曲線C相交于A，B兩點，D（0，-1）且有|AD|=|BD|，試求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知：雙曲線C的焦點在x軸上，可設此雙曲線C的方程為（a＞0，b＞0）．則，解出即可．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立，化為（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0，（1-3k²≠0）
由題意△＞0，化為m²+1＞3k²．（*），進而得到根與系數(shù)的關系，于是得到線段AB的中點M的坐標．由|AD|=|BD|，可得k_AB•k_MD=-1．
即，化為4m+1=3k²，代入（*）得m²+1＞4m+1，及3k²=4m+1≥0解出即可．
解答：解：（1）由題意可知：雙曲線C的焦點在x軸上，可設此雙曲線C的方程為（a＞0，b＞0）．
則，解得．
∴雙曲線C的方程為；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立，化為（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0，（1-3k²≠0）
由題意△＞0，化為m²+1＞3k²．（*）
∴，．
設線段AB的中點為M（x，y），則，y=kx+m==．
∴M.．
∵|AD|=|BD|，∴k_AB•k_MD=-1．
∴，化為4m+1=3k²，代入（*）得m²+1＞4m+1，
解得m＞4或m＜0．
由3k²=4m+1≥0，解得
∴m的取值范圍是[-，0）∪（4，+∞）．
點評：本題中考查了雙曲線的標準方程及其性質(zhì)、直線與雙曲線相交問題的一般解法等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．