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18.已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x,若對任意的x∈(0,+∞),有f(x)≥kx2成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(  )
A.(-∞,-12B.(-∞,-12]C.(-∞,-2]D.(-∞,-2)

分析 由題意任意的x∈[0,+∞),有f(x)≥kx2成立,可以令g(x)=f(x)-x2,求出g(x)的最大值小于0即可,可以利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的最值.

解答 解:當(dāng)k≥0時,取x=1,有f(1)=ln2-1<0,故k≥0不合題意;
當(dāng)k<0時,令g(x)=f(x)-kx2,即g(x)=ln(x+1)-x-kx2
求導(dǎo)函數(shù)可得g′(x)=x[2kx+2k+1]x+1,
令g′(x)=0,可得x1=0,x2=-2k+12k=-1-12k<-1,
當(dāng)k<-12時,-1-12k<0,g′(x)>0在x∈(0,+∞)上恒成立,
g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴g(x)≥g(0)=0,
∴對任意的x∈[0,+∞),有f(x)≥kx2成立;
當(dāng)-12<k<0時,x2=-1-12k>0,
g(x)在(0,-1-12k)上g′(x)<0,g(x)為減函數(shù);
g(x)在(-1-12k,+∞)上g′(x)>0,g(x)為增函數(shù);
因此存在x0∈(0,-1-12k)使得g(x0)≤g(0)=0,
可得ln(x0+1)-x0<kx02,即f(x0)<kx02,與題意矛盾;
∴綜上:k≤-12時,對任意的x∈[0,+∞),有f(x)≥kx2成立,
∴實(shí)數(shù) k的最小值為:(-∞,-12];
故選:B.

點(diǎn)評 此題考查函數(shù)的恒成立問題,第二問構(gòu)造新函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為g(x)的最大值小于等于0,即可,這種轉(zhuǎn)化的思想在高考中經(jīng)常會體現(xiàn),我們要認(rèn)真體會.

練習(xí)冊系列答案
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