A. | (-∞,-12) | B. | (-∞,-12] | C. | (-∞,-2] | D. | (-∞,-2) |
分析 由題意任意的x∈[0,+∞),有f(x)≥kx2成立,可以令g(x)=f(x)-x2,求出g(x)的最大值小于0即可,可以利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的最值.
解答 解:當(dāng)k≥0時,取x=1,有f(1)=ln2-1<0,故k≥0不合題意;
當(dāng)k<0時,令g(x)=f(x)-kx2,即g(x)=ln(x+1)-x-kx2,
求導(dǎo)函數(shù)可得g′(x)=−x[2kx+(2k+1)]x+1,
令g′(x)=0,可得x1=0,x2=-2k+12k=-1-12k<-1,
當(dāng)k<-12時,-1-12k<0,g′(x)>0在x∈(0,+∞)上恒成立,
g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴g(x)≥g(0)=0,
∴對任意的x∈[0,+∞),有f(x)≥kx2成立;
當(dāng)-12<k<0時,x2=-1-12k>0,
g(x)在(0,-1-12k)上g′(x)<0,g(x)為減函數(shù);
g(x)在(-1-12k,+∞)上g′(x)>0,g(x)為增函數(shù);
因此存在x0∈(0,-1-12k)使得g(x0)≤g(0)=0,
可得ln(x0+1)-x0<kx02,即f(x0)<kx02,與題意矛盾;
∴綜上:k≤-12時,對任意的x∈[0,+∞),有f(x)≥kx2成立,
∴實(shí)數(shù) k的最小值為:(-∞,-12];
故選:B.
點(diǎn)評 此題考查函數(shù)的恒成立問題,第二問構(gòu)造新函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為g(x)的最大值小于等于0,即可,這種轉(zhuǎn)化的思想在高考中經(jīng)常會體現(xiàn),我們要認(rèn)真體會.
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x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
y | 1 | 1.3 | 3.2 | 5.6 | 8.9 |
A. | 1 | B. | \frac{1}{2} | C. | \frac{1}{3} | D. | -\frac{1}{2} |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 12 |
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A. | y=sinx | B. | y=x3-x | C. | y=2x | D. | y=lg(x+\sqrt{{x}^{2}+1}) |
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