如圖所示,在斜邊為AB的Rt△ABC中,過A作PA⊥平面ABC,AM⊥PB于M,
AN⊥PC于N.(Ⅰ)求證:BC⊥面PAC;
(Ⅱ)求證:PB⊥面AMN.
(Ⅲ)若PA=AB=4,設(shè)∠BPC=θ,試用tanθ表示△AMN 的面積,當(dāng)tanθ取何值時(shí),△AMN的面積最大?最大面積是多少?

【答案】分析:(Ⅰ)由PA⊥平面ABC,可得PA⊥BC,又AB為斜邊,得BC⊥AC,PA∩AC=A,由直線和平面垂直的判定定理證得BC⊥平面PAC.
(Ⅱ)由BC⊥平面PAC證得BC⊥AN,又AN⊥PC,可得AN⊥面PBC,從而AN⊥PB.
(Ⅲ)由PB⊥面AMN,可得PB⊥MN,再由AN⊥平面PBC,可得AN⊥MN,故△AMN為直角三角形.用勾股定理求出AN的值,根據(jù)=
當(dāng)tanθ=時(shí),S△AMN有最大值為2.
解答:解:(Ⅰ)證明:∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC.
∴PA⊥BC,又AB為斜邊,∴BC⊥AC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.(4分)
(Ⅱ)證明:∵BC⊥平面PAC,AN?平面PAC,∴BC⊥AN,又AN⊥PC,且BC∩PC=C,
∴AN⊥面PBC,又PB?平面PBC.∴AN⊥PB.
又∵PB⊥AM,AM∩AN=A,∴PB⊥平面AMN.(9分)
(Ⅲ)解:在Rt△PAB中,PA=AB=4,∴PB=4,∵PM⊥AB,∴AM=PB=2,∴PM=BM=2
又∵PB⊥面AMN,MN?平面AMN.∴PB⊥MN.∵M(jìn)N=PM•tanθ=2tanθ,∵AN⊥平面PBC,MN?平面PBC.∴AN⊥MN.
∵AN=,∴
∴當(dāng)tan2θ=,即tanθ=時(shí),S△AMN有最大值為2,
∴當(dāng)tanθ=時(shí),S△AMN面積最大,最大值為2.         (16分)
點(diǎn)評(píng):題考查證明線面垂直的方法,直線和平面垂直的判定、性質(zhì)的應(yīng)用,求出△AMN的面積并化簡(jiǎn),是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

21、如圖所示,在斜邊為AB的Rt△ABC中,過A作PA⊥平面ABC,AM⊥PB于M,AN⊥PC于N.
(1)求證:BC⊥面PAC;
(2)求證:PB⊥面AMN.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在斜邊為AB的Rt△ABC中,過A作PA⊥平面ABC,AM⊥PB于M,
AN⊥PC于N.(Ⅰ)求證:BC⊥面PAC;
(Ⅱ)求證:PB⊥面AMN.
(Ⅲ)若PA=AB=4,設(shè)∠BPC=θ,試用tanθ表示△AMN 的面積,當(dāng)tanθ取何值時(shí),△AMN的面積最大?最大面積是多少?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011年重慶市高二下學(xué)期檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題

如圖所示,在斜邊為AB的Rt△ABC中,過APA⊥平面ABCAMPBM,

ANPCN.

 

   (1)求證:BC⊥面PAC;

   (2)求證:PB⊥面AMN.

   (3)若PA=AB=4,設(shè)∠BPC=θ,試用tanθ表示△AMN的面積,當(dāng)tanθ取何值時(shí),△AMN的面積最大?最大面積是多少?

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,在斜邊為AB的Rt△ABC中,過A作PA⊥平面ABC,AM⊥PB于M,AN⊥PC于N.
(1)求證:BC⊥面PAC;
(2)求證:PB⊥面AMN.
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