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1.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)的一條直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),正三角形ABC的頂點(diǎn)C在該拋物線的準(zhǔn)線上,則直線AB的斜率為( �。�
A.±2B.±33C.±22D.±3

分析 設(shè)AB的中點(diǎn)為M,過A、B、M分別作AA1、BB1、MN垂直于直線x=-1于A1、B1、N,設(shè)∠AFx=θ,求出sinθ=13,即可求出直線AB的斜率.

解答 解:拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),設(shè)AB的中點(diǎn)為M,過A、B、M分別作AA1、BB1、MN垂直于直線x=-1于A1、B1、N,設(shè)∠AFx=θ,
由拋物線定義知:|MN|=12(|AA1|+|BB1|)=12|AB|,
∵|MC|=32|AB|,∴|MN|=13|MC|,
∵∠CMN=90°-θ,
∴cos∠CMN=cos(90°-θ)=|MN||MC|=13,即sinθ=13,
∴tanθ=22,
根據(jù)對稱性,直線AB的斜率為±22,
故選:C.

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程與性質(zhì),考查拋物線的定義,正確運(yùn)用拋物線的定義是關(guān)鍵.

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(2)若對任意x1∈[0,\frac{1}{2}],總存在x2∈[\frac{1}{2},1],使得f(x1)<g(x2),求實數(shù)k的取值范圍.

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