Question

已知a＞0且a≠1，f(logax)=

a

a2-1

(x-

1

x

)．
（1）求f（x）；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）判斷f（x）的單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析：（1）利用換元法：令t=log_ax⇒x=a^t，代入可得f（t）=

1

a2-1

(at- 

1

at

)，（t∈R），從而可得函數(shù)f（x）的解析式
（2）由（1）得f（x）定義域?yàn)镽，可求函數(shù)的定義域，先證奇偶性：代入f（-x）=

1

a2-1

(

1

ax

-ax)=-f(x)，從而可得函數(shù)為奇函數(shù)
（3）再證單調(diào)性：利用定義任取x₁＜x₂，利用作差比較f（x₁）-f（x₂）的正負(fù)，從而確當(dāng)f（x₁）與f（x₂）的大小，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性

解答：解：（1）令log_ax=t，則x=a^t，得f（t）=

1

a2-1

(at- 

1

at

)，4分）
所以f（x）=

1

a2-1

（a^x-a^-x）（6分）
（2）因?yàn)閒（x）定義域?yàn)镽，
又f（-x）=

1

a2-1

（a^-x-a^x）=-

1

a2-1

（a^x-a^-x）=-f（x），
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)（9分）
（3）任取x₁＜x₂
則f（x₂）-f（x₁）=

1

a2-1

（ax2-ax1）（1+a-(x1+x2)）（11分）
∵x₁＜x₂，且a＞0且a≠1，1+a-(x1+x2)＞0
①當(dāng)a＞1時(shí)，a²-1＞0，ax2-ax1＞0，則有f（x₂）-f（x₁）＞0，
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a²-1＜0．，ax2-ax1＜0，則有f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以f（x）為增函數(shù)（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了函數(shù)性質(zhì)的三點(diǎn)：①利用換元法求函數(shù)的解析式，這是求函數(shù)解析式中最為重要的方法，要注意掌握，解答此類問題的注意點(diǎn)：換元后要確定新元的范圍，從而可得所要求的函數(shù)的定義域②函數(shù)奇偶性的判斷，解題的關(guān)鍵是利用奇偶性的定義③利用定義判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟（i）任設(shè)x₁＜x₂（也可x₁＞x₂）（ii）作差f（x₁）-f（x₂）（iii）定號(hào)，給出結(jié)論．