Question

定義在（0，+∞）上的函數f（x）滿足f（

x

y

）=f（x）-f（y），且當x＞1時，f（x）＞0
（1）求f（1）的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（3）若f（3）=1不等式 f(x)-f(

1

x-8

)≥2．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用賦值法即可求f（1）的值；
（2）根據函數的單調性的性質和定義即可證明f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（3）若f（3）=1將不等式 f(x)-f(

1

x-8

)≥2進行等價轉化，結合函數單調性的性質解不等式即可．

解答： 解：（1）∵定義在（0，+∞）上的函數f（x）滿足f(

x

y

)=f(x)-f(y)，
令x=y=1，則f(

1

1

)=f(1)-f(1)，
故f（1）=0．
（2）設任意的0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，
∵當x＞1時，f（x）＞0
∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)＞0⇒f(x1)＜(fx2)，
∴f（x）是（0，+∞）上的增函數．
（3）∵f（3）=1，f(x)-f(

1

x-8

)≥2
∴f（

x

1 x-8

）-f（3）≥f（3），
由（2）知f（x）是（0，+∞）上的增函數，
故

x(x-8) 3 ≥3 x＞0 1 x-8 ＞0

⇒

x≤-1，x≥9 x＞0 x＞8

⇒x≥9，
∴原不等式的解集是[9，+∞）．

點評：本題主要考查抽象函數的應用，根據函數單調性將不等式進行轉化是解決本題的關鍵．