Question

4．已知a=${∫}_{-2}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx，則（ax+$\frac{1}{x}$）⁶展開式中的常數(shù)項為160π³．

Answer 1

分析 由定積分的幾何意義可求a值，再由二項式定理可得．

解答 解：a=${∫}_{-2}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx表示圓x²+y²=4面積的一半，
故a=$\frac{1}{2}$×π×2²=2π，∴（ax+$\frac{1}{x}$）⁶=（2πx+$\frac{1}{x}$）⁶，
展開式通項為T_k+1=${C}_{6}^{k}$（2πx）^6-k（$\frac{1}{x}$）^k=${C}_{6}^{k}$（2π）^6-kx^6-2k，
令6-2k=0可解得k=3，故展開式中的常數(shù)項為T₄=${C}_{6}^{3}$（2π）³=160π³，
故答案為：160π³．

點評 本題考查幾何意義求定積分和二項式定理，屬中檔題．