Question

如圖所示，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，A₁C₁的中點(diǎn)為D．

(1)求證BC₁∥平面AB₁D；

(2)求二面角A₁—B₁D—A的大小；

(3)求點(diǎn)B到平面AB₁D的距離．

Answer 1

答案：
解析：

(1)連結(jié)A1B，設(shè)A1B與AB1相交于點(diǎn)O，則O為A1B的中點(diǎn)，連結(jié)DO，因?yàn)镈為A1C1的中點(diǎn)，所以DO為△A1BC1的中位線，∴DO∥BC1，又DO平面AB1D，BC1平面AB1D，所以BC1∥平面AB1D． 　　(2)由題意知，B1D是正三角形A1B1C1的中線，∴A1C1⊥B1D． 　　在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AD⊥B1D 　　∴∠ADA1是二面角A1—B1D—A的平面角． 　　在Rt△ADA1中，tan∠ADA1＝＝，∴∠ADA1＝． 　　(3)因?yàn)镺為A1B的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B到平面AB1D的距離等于點(diǎn)A1到平面AB1D的距離．由(2)可知，B1D⊥平面AA1CC1，∴平面AB1D⊥平面AA1CC1，且平面AB1D∩平面AA1CC1＝AD．過點(diǎn)A1作A1H⊥AD于H，則A1H⊥平面AB1D，所以線段A1H的長(zhǎng)度就是點(diǎn)A1到平面AB1D的距離． 　　在Rt△AA1D中，A1H＝＝，即點(diǎn)B到平面AB1D的距離是．