Question

16．已知雙曲線Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）經(jīng)過點(diǎn)P（2，1），且其中一焦點(diǎn)F到一條漸近線的距離為1．
（Ⅰ）求雙曲線Г的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作兩條相互垂直的直線PA，PB分別交雙曲線Г于A、B兩點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線AB距離的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將P的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式，可得b=1，解得a，進(jìn)而得到雙曲線的方程；
（Ⅱ）若直線PA的斜率存在，設(shè)方程為y-1=k（x-2），將其與雙曲線方程聯(lián)解得到點(diǎn)A關(guān)于k的坐標(biāo)形式，同理得到點(diǎn)B關(guān)于k的坐標(biāo)形式．由直線方程的兩點(diǎn)式列式得到直線AB含有參數(shù)k的形式，化簡后取特殊的k值找到可能經(jīng)過的定點(diǎn)為P（6，-3），再代入方程加以檢驗(yàn)可得所有的直線AB都經(jīng)過點(diǎn)P．在直線PA的斜率不存在時，易得AB的方程為y=-$\frac{1}{2}$x，直線也經(jīng)過上述的P點(diǎn)．由此即可得到直線AB恒經(jīng)過定點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（6，-3）．當(dāng)PM垂直于AB時，取得最大值．

解答 解：（Ⅰ）將P的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{^{2}}$=1，
由焦點(diǎn)F（c，0）到一條漸近線y=$\frac{a}$x的距離為1，
可得d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b=1，
解得a=$\sqrt{2}$，
即有雙曲線Г的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1；
（Ⅱ）①當(dāng)直線PA的斜率存在時，設(shè)直線PA的方程為y-1=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1-2k}\\{{x}^{2}-2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$消去y，得（1-2k²）x²-4k（1-2k）x-2（4k²-4k+2）=0，
設(shè)A（m，n），可得2m=$\frac{2（4{k}^{2}-4k+2）}{2{k}^{2}-1}$，解得m=$\frac{4{k}^{2}-4k+2}{2{k}^{2}-1}$，n=$\frac{-2{k}^{2}+4k-1}{2{k}^{2}-1}$，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\frac{4{k}^{2}-4k+2}{2{k}^{2}-1}$，$\frac{-2{k}^{2}+4k-1}{2{k}^{2}-1}$），
同理算出B的坐標(biāo)為（$\frac{2{k}^{2}+4k+4}{2-{k}^{2}}$，$\frac{-{k}^{2}-4k-2}{2-{k}^{2}}$），
因此，直線AB的方程為$\frac{y-\frac{-2{k}^{2}+4k-1}{2{k}^{2}-1}}{\frac{-{k}^{2}-4k-2}{2-{k}^{2}}-\frac{-2{k}^{2}+4k-1}{2{k}^{2}-1}}$=$\frac{x-\frac{4{k}^{2}-4k+2}{2{k}^{2}-1}}{\frac{2{k}^{2}+4k+4}{2-{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}-4k+2}{2{k}^{2}-1}}$，
化簡得（$\frac{2{k}^{2}+4k+4}{2-{k}^{2}}$-$\frac{4{k}^{2}-4k+2}{2{k}^{2}-1}$）（y-$\frac{-2{k}^{2}+4k-1}{2{k}^{2}-1}$）
=（$\frac{-{k}^{2}-4k-2}{2-{k}^{2}}$-$\frac{-2{k}^{2}+4k-1}{2{k}^{2}-1}$）（x-$\frac{2{k}^{2}+4k+4}{2-{k}^{2}}$）
即$\frac{8{k}^{4}+4{k}^{3}+4k-8}{（2-{k}^{2}）（2{k}^{2}-1）}$（y+$\frac{2{k}^{2}-4k+1}{2{k}^{2}-1}$）=$\frac{-4{k}^{4}-4{k}^{3}-4k-4}{（2-{k}^{2}）（2{k}^{2}-1）}$（x-$\frac{4{k}^{2}-4k+2}{2{k}^{2}-1}$）
即（2k⁴+k³+k-2）（y+$\frac{2{k}^{2}-4k+1}{2{k}^{2}-1}$）=（-k⁴-k³-k+1）（x-$\frac{4{k}^{2}-4k+2}{2{k}^{2}-1}$）
取k=1，化簡得直線AB方程為y=-x+3；取k=2，化簡得直線AB方程為y=-$\frac{5}{8}$x+$\frac{3}{4}$．
∵直線y=-x+3與直線y=-$\frac{5}{8}$x+$\frac{3}{4}$交于點(diǎn)P（6，-3），∴猜想所有的直線AB經(jīng)過點(diǎn)P（6，-3），
∵將P（6，-3）代入直線方程，得左右兩邊相等，∴直線AB恒經(jīng)過定點(diǎn)P（6，-3）．
②當(dāng)直線PA的斜率不存在時，可得A（2，-1），B（-2，1），
此時直線AB的方程為y=-$\frac{1}{2}$x，得直線經(jīng)過上述的P點(diǎn)．
綜上所述，可得直線AB恒經(jīng)過定點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（6，-3）．
當(dāng)PM⊥AB時，P到直線AB的距離最大，且為$\sqrt{（2-6）^{2}+（1+3）^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查給出雙曲線上的定點(diǎn)P與互相垂直的弦PA、PB，求P到AB的距離的最值的求法，著重考查了直線的基本量與基本形式、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)和直線與圓錐曲線的關(guān)系等知識，屬于難題．