Question

定義{a，b，c}為函數(shù)y=ax²+bx+c的“特征數(shù)”．如：函數(shù)y=x²-2x+3的“特征數(shù)”是{1，-2，3}，函數(shù)y=2x+3的“特征數(shù)”是{0，2，3，}，函數(shù)y=-x的“特征數(shù)”是{0，-1，0}
（1）將“特征數(shù)”是{}的函數(shù)圖象向下平移2個(gè)單位，得到的新函數(shù)的解析式是________； （答案寫(xiě)在答卷上）
（2）在（1）中，平移前后的兩個(gè)函數(shù)分別與y軸交于A、B兩點(diǎn)，與直線x=分別交于D、C兩點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出圖形，判斷以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形形狀，并說(shuō)明理由；
（3）若（2）中的四邊形與“特征數(shù)”是{}的函數(shù)圖象的有交點(diǎn)，求滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意可得“特征數(shù)”是{}的函數(shù)為y=，
其圖象向下平移2個(gè)單位，得到的新函數(shù)的解析式是y=-2，即y=；
（2）由題意可知y=向下平移兩個(gè)單位得y=

∴AD∥BC，且AB=2，由直線的方程可知AB∥CD．
∴四邊形ABCD為平行四邊形．
同時(shí)可得C點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），D（，2）
由勾股定理可得BC=2，即AB=BC=2
∴四邊形ABCD為菱形．
（3）可得二次函數(shù)為：y=x²-2bx+b²+，化為頂點(diǎn)式為：y=（x-b）²+，
∴二次函數(shù)的圖象不會(huì)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C．
設(shè)二次函數(shù)的圖象與四邊形有公共部分，

當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，將A（0，1），代入二次函數(shù)，
解得b=-，b=（不合題意，舍去），
當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，將D（，2），代入二次函數(shù)，
解得b=+，b=（不合題意，舍去），
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍：．
分析：（1）由題意可得函數(shù)解析式，由平移的知識(shí)可得；
（2）由直線的方程易證四邊形為平行四邊形，由坐標(biāo)可得AB=BC，即得菱形；
（3）分別求得函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)A，D時(shí)的b值，數(shù)形結(jié)合可得范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，涉及二次函數(shù)和直線的位置關(guān)系的判定，屬基礎(chǔ)題．