已知向量
a
=(2cos
x
2
，tan(
x
2
+
π
4
))，
b
=(
2
sin(
x
2
+
π
4
)，tan(
x
2
-
π
4
))，令f(x)=
a
•
b
．求函數(shù)f（x）的最大值，最小正周期，并寫(xiě)出
f（x）在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間．
分析：利用向量的數(shù)量積公式求出f（x），利用兩角和、差的正弦、正切公式、二倍角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)為y=Asin（?x+φ）+k形式；
利用三角函數(shù)的有界性、最小正周期公式、利用整體代換求出單調(diào)性．
解答：解：f(x)=
a
•
b
=2
2
cos
x
2
sin(
x
2
+
π
4
)+tan(
x
2
+
π
4
)tan(
x
2
-
π
4
)=2
2
cos
x
2
(
2
2
sin
x
2
+
2
2
cos
x
2
)+
1+tan
x
2
1-tan
x
2
•
tan
x
2
-1
1+tan
x
2
=2sin
x
2
cos
x
2
+2cos2
x
2
-1=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
).
當(dāng)x=
π
4
時(shí)，f(x)|max=f(
π
4
)=
2
．
最小正周期為T(mén)=2π，f（x）在[0，
π
4
]是單調(diào)增加，在[
π
4
，π]是單調(diào)減少．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量與三角結(jié)合、考查向量的數(shù)量積公式、三角函數(shù)的和、差角公式、二倍角公式；三角函數(shù)的周期公式、三角函數(shù)的有界性．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(2cosx，cos2x)，
b
=(sinx，1)，令f(x)=
a
•
b
．
（Ⅰ） 求 f （
π
4
）的值；
（Ⅱ）求x∈[-
π
2
，
π
2
]時(shí)，f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(2cosx+1，cos2x-sinx+1)，
b
=(cosx， -1)，定義f(x)=
a
•
b

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值及取得最大值時(shí)的x．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•肇慶二模）已知向量
a
=(2cosx，-2)，
b
=(cosx，
1
2
)，f(x)=
a
•
b
，x∈R，則f（x）是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(2cosx，
3
sinx)，
b
=(cosx，2cosx)，設(shè)函數(shù)f(x)=
a
•
b
．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）若x∈[0，
π
2
]，求函數(shù)f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(2cosx，
3
sinx)，
b
=(cosx，2cosx)，若f（x）=
a
•
b
．
（1）求函數(shù)f（x）的周期及對(duì)稱(chēng)軸的方程；
（2）若x∈[
π
12
，
π
3
]，試求f（x）的值域．

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