Question

已知函數(shù)．
（1）證明f（x）的奇偶性；
（2）當x＞0時，試寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間并用定義證明；
（3）試在所給的坐標系中作出函數(shù)f（x）的圖象．

Answer 1

解：（1）函數(shù)的定義域為D=（-∞，0）∪（0，+∞），關于原點對稱．（1分）
任取x∈D，都有=f（x），所以f（x）為偶函數(shù)．--（2分）
（2）[1，+∞）為增區(qū)間，（0，1]為減區(qū)間．----------------（2分）
任取1≤x₁＜x₂，，
∵1≤x₁＜x₂，∴，∴f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．
同理可證（0，1]上為減函數(shù)．-------（2分）
（3）f（x）的圖象如圖所示：---------（3分）
分析：（1）求出函數(shù)的定義域為D關于原點對稱，任取x∈D，都有f（-x）=f（x），從而得到f（x）為偶函數(shù)．
（2）[1，+∞）為增區(qū)間，（0，1]為減區(qū)間，利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性的定義進行證明．
（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的特征，作出函數(shù)的圖象．
點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，作函數(shù)的圖象，屬于基礎題．