Question

已知函數(shù)f（x）=x²+3，g（x）=a（1-x），當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：將f（x）≥g（x）在x∈[-2，2]恒成立轉(zhuǎn)化為f（x）-g（x）≥0在x∈[-2，2]恒成立，即求[f（x）-g（x）]_min≥0，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸分別在區(qū)間的左、中、右三種情況求出最小值，從而得出a的取值范圍．

解答：解：要使當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，f（x）≥g（x）恒成立，即要f（x）-g（x）=x²+ax+3-a≥0對(duì)-2≤x≤2恒成立，
令φ（x）=x²+ax+3-a（-2≤x≤2），
當(dāng)-

a

2

≥2，即a≤-4時(shí)，φ（2）≥0，得a≥-7，又a≤-4，∴-7≤a≤-4，
當(dāng)-

a

2

≤-2，即a≥4時(shí)，φ（-2）≥0，得a≤

7

3

（舍去）
當(dāng)-2＜-

a

2

＜2，即-4＜a＜4時(shí)，φ（-

a

2

）=3-a-

a2

4

≥0，得-6≤a≤2，∴-4＜a≤2
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-7，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問題，同時(shí)涉及了動(dòng)態(tài)的二次函數(shù)在定區(qū)間上求最值．對(duì)于恒成立問題的一般解題思路是轉(zhuǎn)化成求最值問題．本題屬于中檔題．