Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與拋物線y²=2px（p＞0）有一個共同的焦點F，點M是雙曲線與拋物線的一個交點，若|MF|=

5

4

p，則此雙曲線的離心率等于（　�。�

• A、2
• B、3
• C、

  2

• D、

  3

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：利用雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與拋物線y²=2px（p＞0）有一個共同的焦點F，可得c=

p

2

，由點M為這兩條曲線的一個交點，且|MF|=

5

4

p，確定M的坐標，代入雙曲線方程，即可求出雙曲線的離心率．

解答： 解：拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F（

p

2

，0）．
∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與拋物線y²=2px（p＞0）有一個共同的焦點F，
∴c=

p

2

．
∵點M為這兩條曲線的一個交點，且|MF|=

5

4

p，
∴M的橫坐標為

3

4

p，
代入拋物線方程，可得M的縱坐標為±

6

2

p，
將M的坐標代入雙曲線方程，可得

9 16 p2

a2

-

3 2 p2

b2

=1
∴e=2
故選：A．

點評：本題考查雙曲線的離心率，考查拋物線方程，考查學生的計算能力，比較基礎．