精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

已知函數f（x）的圖象過點（0，1），且與函數數學公式的圖象關于直線y=x-1成軸對稱圖形．
（1）求函數f（x）的解析式及定義域；
（2）若三個正數m、n、t依次成等比數列，證明f（m）+f（t）≥2f（n）．

（1）解：在y=f（x）的圖象上取點P（x，y），
設P點關于直線y=x-1對稱的點為Q（m，n），
則?
∵Q在y=g（x）的圖象上，
∴?y=2log2（x+a）+1．
∵y=f（x）的圖象過點（0，1），
∴1=2log2a+1?a=1．
故f（x）=2log2（x+1）+1，定義域為（-1，+∞）．
（2）證明：∵n2=mt?（m+1）（t+1）
=mt+m+t+1
≥
=（n+1）2，
∴f（m）+f（t）
=2log2（m+1）+1+2log2（t+1）+1
=2log2（m+1）（t+1）+2
≥2log2（n+1）2+2
=2[2log2（n+1）+1=2f（n）．
分析：（1）利用軸對稱來解，先在y=f（x）的圖象上取點P（x，y），設P點關于直線y=x-1對稱的點為Q（m，n），根據一垂直二平分，表示出m，n再代入f（x）即可．
（2）由三個正數m、n、t依次成等比數列得到n2=mt≥=（n+1）2，再將f（m）+f（t）≥2f（n）．通過函數值轉化證明．
點評：本題主要考查函數圖象的對稱性求解析式，等比數列中項公式及放縮法證明不等式等問題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）的圖象有且僅有由五個點構成，它們分別為（1，2），（2，3），（3，3），（4，2），（5，2），則f（f（f（5）））=
3
3
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•天門模擬）已知函數f（x）的圖象經過點（1，λ），且對任意x∈R，都有f（x+1）=f（x）+2．數列{an}滿足a1=λ-2，2an+1=
2n，n為奇數
f(an)，n為偶數

（I）求f（n）（n∈N*）的表達式；
（II）設λ=3，求a1+a2+a3+…+a2n；
（III）若對任意n∈N*，總有anan+1＜an+1an+2，求實數λ的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）的圖象關于原點對稱，且當x＜0時，f（x）=2x-4，那么當x＞0時，f（x）=
2x+4
2x+4
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•焦作一模）已知函數f（x）的圖象過點（
π
4
，-
1
2
），它的導函數f′（x）=Acos（ωx+φ）（x∈R）的圖象的一部分如圖所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
，為了得到函
數f（x）的圖象，只要將函數y=sinx（x∈R）的圖象上所有的點（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）的圖象關于直線x=2對稱，且當x≠2時其導函數f′（x）滿足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4，則下列表示大小關系的式子正確的是（　�。�
A、f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B、f(3)＜f(log2a)＜f(2a)C、f(log2a)＜f(3)＜f(2a)D、f(log2a)＜f(2a)＜f(3)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案