Question

真命題：“經(jīng)過(guò)雙曲線

x2

4

-

y2

5

=1的左焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|=5，則符合條件的直線有3條”將此命題推廣到一般的雙曲線，并且使已知命題是推廣命題的特例，則推廣的真命題可以是______．

Answer 1

推廣的真命題可以是：經(jīng)過(guò)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（0＜a＜b）的左焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|=

2b2

a

時(shí)，則符合條件的直線有3條．證明如下：
若AB只與雙曲線右支相交時(shí)，|AB|的最小距離是通徑，長(zhǎng)度為

2b2

a

，
此時(shí)只有一條直線符合條件；
若AB與雙曲線的兩支都相交時(shí)，此時(shí)|AB|的最小距離是實(shí)軸兩頂點(diǎn)的距離，長(zhǎng)度為2a，距離無(wú)最大值，
結(jié)合雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，可得此時(shí)有2條直線符合條件；
綜合可得，有3條直線符合條件．
故答案為：經(jīng)過(guò)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（0＜a＜b）的左焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|=

2b2

a

時(shí)，則符合條件的直線有3條．