分析 (Ⅰ)直接由中位線定理可得線線平行,進一步利用線面平行的判定定理得答案;
(Ⅱ)利用等積法,把三棱錐A′-MNA的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐M-A′AN的體積求解.
解答 (Ⅰ)證明:如圖,
連接AB′、AC′,
在△AB′C′中,
∵M,N分別為A′B和B′C′的中點,
∴MN∥AC′,
AC′?面A′ACC′,MN?面A′ACC′,
∴MN∥平面A′ACC′;
(Ⅱ)解:在直三棱柱ABC-A′B′C′中,
∵∠BAC=90°,AB=AC=2,∴△A′B′C′為等腰直角三角形,
則A′N⊥B′C′,
又AA′⊥B′C′,
∴B′C′⊥面A′AN,即BC⊥面A′AN,
∴三棱錐B-A′AN的高為$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$,
M為A′B的中點,∴M到面A′AN的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
又△A′AN的面積為$\frac{1}{2}×A′N×AA′=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴${V}_{A′-MAN}={V}_{M-A′AN}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{6}$.
點評 本題考查直線與平面平行的判定,考查了棱錐體積的求法,訓練了等積法的應用,是中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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