Question

數列{a_n}中，a₁=

3

2

，a_n+1=a_n²-a_n+1．
（1）求證：

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

（2）設S_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

，n＞2，證明：S_n＜2．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的求和

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）把數列遞推式變形，取倒數后整理得答案；
（2）由（1）中的結論把

1

an

列項，得到Sn=2-

1

an+1-1

，由已知條件a₁=

3

2

，a_n+1=a_n²-a_n+1得到
a_n+1＞a_n＞1，從而證得S_n＜2．

解答： 證明：（1）∵a_n+1=a_n²-a_n+1=a_n（a_n-1）+1，
∴a_n+1-1=a_n（a_n-1），
∴

1

an+1-1

=

1

an(an-1)

=

1

an-1

-

1

an

．
∴

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

；
（2）由（1）知，

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

，
∴S_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=(

1

a1-1

-

1

a2-1

)+(

1

a2-1

-

1

a3-1

)+…+(

1

an-1

-

1

an+1

)
=

1

a1-1

+

1

an+1-1

=2-

1

an+1-1

．
∵a_n+1=a_n²-a_n+1=(an-1)2≥0，且a1=

3

2

＞1，
∴a_n+1＞a_n＞1，
∴2-

1

an+1-1

＜2．
即S_n＜2．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了裂項相消法求數列的和，訓練了利用放縮法證明不等式，是中檔題．