分析 (1)以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,求出→BD,→AP,→PC的坐標(biāo),通過(guò)計(jì)算數(shù)量積證明BD⊥AP,BD⊥PC,于是BD⊥平面PAC;
(2)求出平面PCD的法向量→n,計(jì)算cos<→n,→BD>,于是二面角A-PC-D的余弦值等于cos<→n,→BD>;
(3)設(shè)\overrightarrow{PQ}=λ\overrightarrow{PB},求出\overrightarrow{QC}的坐標(biāo),則|cos<\overrightarrow{QC},\overrightarrow{BD}>|=\frac{\sqrt{3}}{3}.解方程得出λ即\frac{PQ}{PB}的值.
解答 證明:(1)∵PA=4,AB=4,PB=4\sqrt{2},
∴PA2+AB2=PB2,即PA⊥AB,
又∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PA?平面PAB,
∴PA⊥平面ABCD,又∵AB⊥AD,
∴AB,AD,PA兩兩垂直,
以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,
則A(0,0,0),B(4,0,0),C(2,2\sqrt{2},0),D(0,2\sqrt{2},0),P(0,0,4)
∴\overrightarrow{BD}=(-4,2\sqrt{2},0),\overrightarrow{PC}=(2,2\sqrt{2},-4),\overrightarrow{AP}=(0,0,4).
∴\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{PC}=0,\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AP}=0,
∴BD⊥PC,BD⊥AP,
又PA?平面PAC,PC?平面PAC,PA∩PC=P,
∴BD⊥平面PAC.
(2)∵BD⊥平面PAC,∴\overrightarrow{BD}是平面PAC的一個(gè)法向量,
\overrightarrow{CD}=(-2,0,0),設(shè)平面PCD的法向量為\overrightarrow{n}=(x,y,z),
則\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{PC},\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{CD},
∴\left\{\begin{array}{l}{2x+2\sqrt{2}y-4z=0}\\{-2x=0}\end{array}\right.,令z=1得\overrightarrow{n}=(0,\sqrt{2},1),
∴\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=4,|\overrightarrow{n}|=\sqrt{3},|\overrightarrow{BD}|=2\sqrt{6},
∴cos<\overrightarrow{n},\overrightarrow{BD}>=\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BD}|}=\frac{\sqrt{2}}{3}.
∴二面角A-PC-D的余弦值為\frac{\sqrt{2}}{3}.
(3)\overrightarrow{PB}=(4,0,-4),設(shè)\overrightarrow{PQ}=λ\overrightarrow{PB}=(4λ,0,-4λ),則\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PQ}=(2-4λ,2\sqrt{2},4λ-4).
∴\overrightarrow{QC}•\overrightarrow{BD}=16λ-8+8=16λ.|\overrightarrow{QC}|=2\sqrt{8{λ}^{2}-12λ+7}.
∵直線QC與平面PAC所成角的正弦值為\frac{{\sqrt{3}}}{3},
∴cos<\overrightarrow{QC},\overrightarrow{BD}>=\frac{\overrightarrow{QC}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{QC}||\overrightarrow{BD}|}=\frac{16λ}{2\sqrt{8{λ}^{2}-12λ+7}•2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3},
解得λ=\frac{7}{12}.
∴\frac{PQ}{PB}=\frac{7}{12}.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定,空間角的計(jì)算,空間向量在立體幾何中的應(yīng)用,屬于中檔題.
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\overrightarrow x | \overrightarrow y | \overrightarrow w | \sum_{i=1}^8{\;}(x1-\overrightarrow x)2 | \sum_{i=1}^8{\;}(w1-\overrightarrow w)2 | \sum_{i=1}^8{\;}(x1-\overrightarrow x)(y-\overrightarrow y) | \sum_{i=1}^8{\;}(w1-\overrightarrow w)(y-\overrightarrow y) |
46.6 | 56.3 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 |
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