某廠生產(chǎn)一種儀器,由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制,會(huì)產(chǎn)生一些次品,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知該廠生產(chǎn)這種儀器,次品率p與日產(chǎn)量x(件)之間大體滿足關(guān)系:P=
1
96-x
(1≤x≤94,x∈N)
2
3
     (x>94,x∈N)

已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可盈利A元,但每生產(chǎn)一件次品將虧損
A
2
元,廠方希望定出適當(dāng)?shù)娜债a(chǎn)量.
(1)試判斷:當(dāng)日產(chǎn)量(件)超過(guò)94件時(shí),生產(chǎn)這種儀器能否贏利?并說(shuō)明理由;
(2)當(dāng)日產(chǎn)量x件不超過(guò)94件時(shí),試將生產(chǎn)這種儀器每天的贏利額T(元)表示成日產(chǎn)量x(件)的函數(shù);
(3)為了獲得最大利潤(rùn),日產(chǎn)量x件應(yīng)為多少件?
分析:(1)分別求出當(dāng)x>94時(shí),合格品的贏利總額與次品的虧損總額,兩者比較可得生產(chǎn)這種儀器能否贏利;
(2)分別求出每日生產(chǎn)的合格品數(shù)與次品數(shù),然后根據(jù)每天的贏利為T=日產(chǎn)量(x)×正品率(1-P)×盈利(A)-日產(chǎn)量(x)×次品率(P)×虧損(
A
2
),整理即可得到;
(3)由(1)可知,日產(chǎn)量超過(guò)94件時(shí),不能盈利,然后求出當(dāng)1≤x≤94時(shí)生產(chǎn)這種儀器每天的贏利額T(元)的函數(shù)解析式,最后利用基本不等式可求出最值,從而求出所求.
解答:解:(1)當(dāng)x>94時(shí),p=
2
3
,由題意可知,每日生產(chǎn)的合格品約為
1
3
x件,次品約為
2
3
x件,合格品共可贏利
1
3
xA元,次品共虧損
2
3
x•
A
2
=
1
3
xA元.
因盈虧相抵,故當(dāng)日產(chǎn)量超過(guò)94件時(shí),不能贏利.
(2)當(dāng)1≤x≤94時(shí),p=
1
96-x

∵每日生產(chǎn)的合格品約為x(1-
1
96-x
)件,次品約為
x
96-x
件,
∴T=x(1-
1
96-x
)A-
x
96-x
A
2
=[x-
3x
2(96-x)
]A(1≤x≤94).
(3)由(1)可知,日產(chǎn)量超過(guò)94件時(shí),不能盈利.
當(dāng)1≤x≤94時(shí),T=(x+
3
2
-
144
96-x
)A=[97
1
2
-(96-x)-
144
96-x
]A.
∵x≤94,96-x>0,
∴T≤[97
1
2
-2
(96-x)•
144
96-x
]A=
147
2
A>0
當(dāng)且僅當(dāng)(96-x)=
144
96-x
時(shí),即x=84時(shí),等號(hào)成立.
故要獲得最大利潤(rùn),日產(chǎn)量應(yīng)為84件.
點(diǎn)評(píng):本題考查了利潤(rùn)函數(shù)模型的應(yīng)用,并且利用基本不等式求得函數(shù)的最值問(wèn)題,同時(shí)考查了分析問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
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某廠生產(chǎn)一種儀器,受生產(chǎn)能力和技術(shù)的限制,會(huì)產(chǎn)生一些次品,由經(jīng)驗(yàn)知生產(chǎn)這種儀器,次品率p與日產(chǎn)量x(件)之間大體滿足關(guān)系:.已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可盈利A元,但每生產(chǎn)一件次品將虧損元,廠方希望定出適當(dāng)?shù)娜债a(chǎn)量.(1)試判斷:當(dāng)日產(chǎn)量(件)超過(guò)94件時(shí),生產(chǎn)這種儀器能否贏利?并說(shuō)明理由;(2)當(dāng)日產(chǎn)量x件不超過(guò)94件時(shí),試將生產(chǎn)這種儀器每天的贏利額T(元)表示成日產(chǎn)量x(件)的函數(shù);(3)為了獲得最大利潤(rùn),日產(chǎn)量x件應(yīng)為多少件?

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