Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，其中PA=PB，四邊形ABCD是菱形，N為AC的中點，M是△PCD的中線PQ的中點．
（Ⅰ）證明：MN∥平面PAB；
（Ⅱ）證明：平面MNC⊥平面ABCD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連BD，交AC于N，連結BQ，取BQ中點E，連結ME，NE，則EM∥PB，EN∥DQ，從而平面PAB∥平面EMN，由此能證明MN∥平面PAB．
（Ⅱ）取AB中點O，連結PO，QO，推導出PO⊥平面ABCD，從而MN⊥平面ABCD，由此能證明平面MNC⊥平面ABCD．

解答 證明：（Ⅰ）連BD，交AC于N，連結BQ，取BQ中點E，連結ME，NE，
∵四邊形ABCD是菱形，N為AC的中點，M是△PCD的中線PQ的中點，
∴N是BD中點，∴EM∥PB，EN∥DQ，
∵DQ∥AB，∴EN∥AB，
∵PB∩AB=B，EM∩EN=E，
PB、AB?平面PAB，EM、EN?平面EMN，
∴平面PAB∥平面EMN，
∵MN?平面EMN，∴MN∥平面PAB．
（Ⅱ）取AB中點O，連結PO，QO，
∵在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，PA=PB，四邊形ABCD是菱形，
N為AC的中點，M是△PCD的中線PQ的中點，
∴PO⊥AB，MN∥PO，∴PO⊥平面ABCD，
∴MN⊥平面ABCD，
∵MN?平面MNC，∴平面MNC⊥平面ABCD．

點評 本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．