Question

已知函數(shù)f(x)=

-x2+2ax， x≤1 ax+1，  x＞1

，若?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（-∞，1）∪（2，+∞）

．

Answer 1

分析：由題意可得，若?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，則說(shuō)明f（x）在R上不單調(diào)，分a=0及a≠0兩種情況分布求解即可求得結(jié)論．

解答：解：若?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，則說(shuō)明f（x）在R上不單調(diào)．
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=

-x2，x≤1 1，x＞1

滿足題意
其其圖象如圖所示，滿足題意

②當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=-x²+2ax的對(duì)稱軸x=a＜0，其圖象如圖所示，滿足題意

③當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=-x²+ax的對(duì)稱軸x=a＞0，其圖象如圖所示，要使得f（x）在R上不單調(diào)

則只要二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=a＜1，或

a≥1 -12+2a×1＞a×1+1

∴0＜a＜1或a＞2，
綜合得：a的取值范圍是（-∞，1）∪（2，+∞）．
故答案為：（-∞，1）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．