Question

已知， ，，其中e是無理數(shù)且e=2.71828 ，.

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）求證：在（1）的條件下，；

（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使的最小值是？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，e），的極小值為;（2）證明見解析；（3）存在實(shí)數(shù)，使得在上的最小值為-1．理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）將代入后對函數(shù)求導(dǎo)，可得，令，可解得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出極值; (2) 構(gòu)造函數(shù)，由知，故不等式成立；（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使（）有最小值-1, ,對進(jìn)行討論，注意，當(dāng)時(shí)，，無最小值；當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，，得（舍去）,存在實(shí)數(shù)，使得在上的最小值為-1．

【解析】
（1）當(dāng)a=1時(shí)，，， （1分）

令，得x=1.

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減； （2分）

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增． （3分）

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，e），的極小值為 （4分）

（2）由（1）知在上的最小值為1．（5分）

令，，所以．（6分）

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增， （7分）

所以.

故在（1）的條件下，．（8分）

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使（）有最小值-1．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720082723565758/SYS201411172008374235153759_DA/SYS201411172008374235153759_DA.038.png">， （9分）

①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，此時(shí)無最小值； （10分）

②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故在（0，a）單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在（a，e）單調(diào)遞增； （11分）

所以，得，滿足條件； （12分）

③當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720082723565758/SYS201411172008374235153759_DA/SYS201411172008374235153759_DA.042.png">，所以，故在上單調(diào)遞減.

，得（舍去）； （13分）

綜上，存在實(shí)數(shù)，使得在上的最小值為-1．（14分）

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性；2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.