設(shè)正整數(shù)數(shù)列{a
n}滿足:a
2=4,且對于任何n∈N
*,有2+
;
(1)求a
1,a
3;(2)求數(shù)列{a
n}的通項a
n.
【答案】
分析:(1)令n=1,根據(jù)2+
可得到
,再由a
1為正整數(shù)可得到a
1的值,當(dāng)n=2時同樣根據(jù)2+
可得到2+
進(jìn)而可得到a
3的范圍,最后根據(jù)數(shù)列{a
n}是正整數(shù)數(shù)列求出a
3的值.
(2)先根據(jù)a
1=1,a
2=4,a
3=9可猜想a
n=n
2,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.
解答:解:(1)據(jù)條件得2+
①
當(dāng)n=1時,由
,即有2+
<
,
解得
.因為a
1為正整數(shù),故a
1=1.
當(dāng)n=2時,由2+
,解得8<a
3<10,所以a
3=9.
(2)由a
1=1,a
2=4,a
3=9,猜想:a
n=n
2.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.
①當(dāng)n=1,2時,由(1)知a
n=n
2均成立;
②假設(shè)n=k(k≥2)成立,則a
k=k
2,則n=k+1時
由(1)得2+
∴
,
即
∴
因為k≥2時,(k
3+1)-(k+1)
2=k(k+1)(k-2)≥0,所以
.
k-1≥1,所以
.又a
k+1∈N
*,所以(k+1)
2≤a
k+1≤(k+1)
2.
故a
k+1=(k+1)
2,即n=k+1時,a
n=n
2成立.由1°,2°知,對任意n∈N
*,
a
n=n
2.
點(diǎn)評:本題主要考查根據(jù)條件求數(shù)列的項和求數(shù)列的通項公式.先猜想數(shù)列的通項公式再由數(shù)學(xué)歸納法證明來求數(shù)列的通項公式的方法是高考的一個重要考點(diǎn),要熟練掌握.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
設(shè)正整數(shù)數(shù)列{a
n}滿足:a
2=4,且對于任何n∈N
*,有2+
<<2+;
(1)求a
1,a
3;
(2)求數(shù)列{a
n}的通項a
n.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
設(shè)正整數(shù)數(shù)列{a
n}滿足a
1=2,a
2=6,當(dāng)n≥2時,有
|-an-1an+1| < an-1.
(1)求a
3的值;(2)求數(shù)列{a
n}的通項;
(3)記
Tn=++ +K+,證明:對任意n∈N
*,
Tn<.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
設(shè)正整數(shù)數(shù)列{a
n}滿足:a
2=4,且對于任何n∈N
*,有2+
<
<2+
,則a
10=
100
100
.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷(江西)
題型:解答題
(本小題滿分14分)
設(shè)正整數(shù)數(shù)列{an}滿足:a2=4,且對于任何
n∈N*,有.
(1)求a1,a3;
(2)求數(shù)列{ an }的通項an.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷(江西)
題型:解答題
(本小題滿分14分)
設(shè)正整數(shù)數(shù)列{an}滿足:a2=4,且對于任何
n∈N*,有.
(1)求a1,a3;
(2)求數(shù)列{ an
}的通項an .
查看答案和解析>>