【題目】如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∠BAC90°,ABBC2,DE分別為AA1,B1C的中點.

1)證明:DE⊥平面BCC1B1

2)若直線BE與平面AA1B1B所成角為30°,求二面角CBDE的大小.

【答案】1)證明見解析;(2

【解析】

1)取BC的中點F,連結(jié)AF,EF,推導(dǎo)出DEAF,且DEAFAFBC,由A1A⊥面ABC,且A1AB1B,從而B1B⊥面ABC,進(jìn)而B1BAF,由此能證明AF⊥平面BCC1B1,從而DE⊥面BCC1B.

2)過FFHAB,由題意得FH1,推導(dǎo)出FH⊥面AA1B1B,即點F到平面AA1B1B的距離為1,EF∥面AA1B1BE到平面AA1B1B的距離d1,求出BE2,EF,BB12,以F為原點,FAx軸,FBy軸,FEz軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角CBDE的大小.

1)證明:取BC的中點F,連結(jié)AF,EF,

EFB1BDA,且,

DEAF,且DEAF,又△ABC是等腰直角三角形,

AFBC,由A1A⊥面ABC,且A1AB1B,∴B1B⊥面ABC

B1BAF,B1BBFB,∴AF⊥平面BCC1B1,

DE⊥面BCC1B.

2)解:過FFHAB,由題意得FH1,

A1A⊥面ABC,知A1A⊥面ABC,知A1AFH,

FH⊥面AA1B1B,即點F到平面AA1B1B的距離為1,

EFB1BEF平面AA1B1B,∴EF∥面AA1B1B

∴點E與點F到平面AA1B1B的距離相等,

E到平面AA1B1B的距離d1

sin30°,解得BE2,∴EF,BB12,

F為原點,FAx軸,FBy軸,FEz軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

B0,0),C0,,0),D),E0,0,),

02,0),),0,),

設(shè)平面CBD和平面BDE的法向量分別為,x2y2,z2),

,取x11,得1,0,﹣1),

,取y21,得0,11),

cos,

由圖知二面角CBDE是銳二面角,

∴二面角CBDE的大小為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知兩定點,動點滿足.

1)求動點的軌跡的方程;

2)軌跡上有兩點,,它們關(guān)于直線對稱,且滿足,求的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為t為參數(shù)),曲線C2的參數(shù)方程為α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點.x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(Ⅰ)求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)射線與曲線C2交于O,P兩點,射線與曲線C1交于點Q,若△OPQ的面積為1,求|OP|的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

1,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:

2)對于任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)α,β是空間中的兩個平面,l,m是兩條直線,則使得αβ成立的一個充分條件是(

A.lα,mβlmB.lm,lαmβ

C.lα,mαlβ,mβD.lm,lα,mβ

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列說法正確的是(

A.某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向,擬采用分層抽樣的方法從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查.已知該校一、二、三、四年級本科生人數(shù)之比為6554,則應(yīng)從一年級中抽取90名學(xué)生

B.10件產(chǎn)品中有7件正品,3件次品,從中任取4件,則恰好取到1件次品的概率為

C.已知變量xy正相關(guān),且由觀測數(shù)據(jù)算得=3,=35,則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是=0.4x+2.3

D.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球,至少有一個黑球與至少有一個紅球是兩個互斥而不對立的事件

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的左、右頂點分別是雙曲線的左、右焦點,且相交于點().

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)直線與橢圓交于A,B兩點,以線段AB為直徑的圓是否恒過定點?若恒過定點,求出該定點;若不恒過定點,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)若函數(shù)有極大值M,求證:.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系.以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為,點上的動點,的中點.

1)請求出點軌跡的直角坐標(biāo)方程;

2)設(shè)點的極坐標(biāo)為若直線經(jīng)過點且與曲線交于點,弦的中點為,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案