【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∠BAC=90°,AB=BC=2,D,E分別為AA1,B1C的中點.
(1)證明:DE⊥平面BCC1B1;
(2)若直線BE與平面AA1B1B所成角為30°,求二面角C﹣BD﹣E的大小.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)取BC的中點F,連結(jié)AF,EF,推導(dǎo)出DE∥AF,且DE=AF,AF⊥BC,由A1A⊥面ABC,且A1A∥B1B,從而B1B⊥面ABC,進(jìn)而B1B⊥AF,由此能證明AF⊥平面BCC1B1,從而DE⊥面BCC1B.
(2)過F作FH⊥AB,由題意得FH=1,推導(dǎo)出FH⊥面AA1B1B,即點F到平面AA1B1B的距離為1,EF∥面AA1B1B,E到平面AA1B1B的距離d=1,求出BE=2,EF,BB1=2,以F為原點,FA為x軸,FB為y軸,FE為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角C﹣BD﹣E的大小.
(1)證明:取BC的中點F,連結(jié)AF,EF,
則EF∥B1B∥DA,且,
∴DE∥AF,且DE=AF,又△ABC是等腰直角三角形,
∴AF⊥BC,由A1A⊥面ABC,且A1A∥B1B,∴B1B⊥面ABC,
∴B1B⊥AF,B1B∩BF=B,∴AF⊥平面BCC1B1,
∴DE⊥面BCC1B.
(2)解:過F作FH⊥AB,由題意得FH=1,
由A1A⊥面ABC,知A1A⊥面ABC,知A1A⊥FH,
∴FH⊥面AA1B1B,即點F到平面AA1B1B的距離為1,
又EF∥B1B,EF平面AA1B1B,∴EF∥面AA1B1B,
∴點E與點F到平面AA1B1B的距離相等,
∴E到平面AA1B1B的距離d=1,
∴sin30°,解得BE=2,∴EF,BB1=2,
以F為原點,FA為x軸,FB為y軸,FE為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則B(0,,0),C(0,,0),D(),E(0,0,),
∴(0,2,0),(),(0,),
設(shè)平面CBD和平面BDE的法向量分別為,(x2,y2,z2),
則,取x1=1,得(1,0,﹣1),
,取y2=1,得(0,1,1),
∴cos,
由圖知二面角C﹣BD﹣E是銳二面角,
∴二面角C﹣BD﹣E的大小為.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知兩定點,,動點滿足.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)軌跡上有兩點,,它們關(guān)于直線:對稱,且滿足,求的面積.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點.x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)射線與曲線C2交于O,P兩點,射線與曲線C1交于點Q,若△OPQ的面積為1,求|OP|的值.
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【題目】已知函數(shù).
(1),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:
(2)對于任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】設(shè)α,β是空間中的兩個平面,l,m是兩條直線,則使得α∥β成立的一個充分條件是( )
A.lα,mβ,l∥mB.l⊥m,l∥α,m⊥β
C.lα,mα,l∥β,m∥βD.l∥m,l⊥α,m⊥β
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【題目】下列說法正確的是( )
A.某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向,擬采用分層抽樣的方法從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查.已知該校一、二、三、四年級本科生人數(shù)之比為6:5:5:4,則應(yīng)從一年級中抽取90名學(xué)生
B.10件產(chǎn)品中有7件正品,3件次品,從中任取4件,則恰好取到1件次品的概率為
C.已知變量x與y正相關(guān),且由觀測數(shù)據(jù)算得=3,=3.5,則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是=0.4x+2.3
D.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球,至少有一個黑球與至少有一個紅球是兩個互斥而不對立的事件
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【題目】已知橢圓:的左、右頂點分別是雙曲線:的左、右焦點,且與相交于點().
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線:與橢圓交于A,B兩點,以線段AB為直徑的圓是否恒過定點?若恒過定點,求出該定點;若不恒過定點,請說明理由.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系,.以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為,點為上的動點,為的中點.
(1)請求出點軌跡的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點的極坐標(biāo)為若直線經(jīng)過點且與曲線交于點,弦的中點為,求的取值范圍.
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