Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-

1

x

（a∈R），若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并化簡，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得：

2ax2+1

x2

≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，即2ax²+1≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，再對a分類求出函數(shù)y=2ax²+1的最小值，列出關(guān)于a的不等式求解即可．

解答： 解：由題意得，f′（x）=2ax+

1

x2

=

2ax2+1

x2

，
因為f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，
所以

2ax2+1

x2

≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
即2ax²+1≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
當(dāng)a=0時，1≥0成立；
當(dāng)a＞0時，函數(shù)y=2ax²+1在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
所以函數(shù)y=2ax²+1的最小值2a+1≥0，解得a≥-

1

2

，
當(dāng)a＞0時，函數(shù)y=2ax²+1在區(qū)間[1，+∞）上是減函數(shù)，
所以函數(shù)y=2ax²+1沒有最小值，即2ax²+1≥0在區(qū)間[1，+∞）上不可能恒成立，
綜上得，實數(shù)a的取值范圍{a|a≥0}．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題是解決本題的關(guān)鍵，考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想．