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1.已知橢圓x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率為22,且短軸長為2,F(xiàn)1,F(xiàn)2是左右焦點,O為坐標原點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)圓O是以F1,F(xiàn)2為直徑的圓,直線l:y=kx+m與圓O相切,且與橢圓交于A,B兩點,OAOB=23,求k的值.

分析 (1)短軸長2b=2,即b=1,e=ca=22,a2=b2+c2,解得:a=2,b=1,即可求得橢圓的標準方程;
(2)以F1,F(xiàn)2為直徑的圓,x2+y2=1,由直線l:y=kx+m與圓O相切,則m1+k2=1,即m2=1+k2,將直線l代入橢圓方程,利用韋達定理及向量數(shù)量積的坐標運算即可求得:1+k21+2k2=23,即可求得k的值.

解答 解:(1)橢圓x2a2+y22=1(a>b>0)焦點在x軸上,短軸長2b=2,即b=1,e=ca=22
又a2=b2+c2,解得:a=2,b=1,
∴橢圓的方程為x22+y2=1;
(2)由(1)可知:丨F1F2丨=2c=2,則以F1,F(xiàn)2為直徑的圓,x2+y2=1,
由直線l:y=kx+m與圓O相切,則m1+k2=1,即m2=1+k2,
設A(x1,y1),B(x2,y2
{y=kx+mx22+y2=1,消去y得,(1+2k2)x2+4mkx+2m2-2=0,
由直線與橢圓有兩個不同的交點,
即有△>0,即(4km)2-4(1+2k2)(2m2-2)>0,
解得:k2>0,
又x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m221+2k2,
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=1k21+2k2
OAOB=x1x2+y1y2=2m221+2k2+1k21+2k2=1+k21+2k2=23,解得:k=±1.
∴k的值±1.

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質,考查直線與橢圓的位置關系,考查向量數(shù)量積的坐標運算,韋達定理的應用,考查計算能力,屬于中檔題.

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