Question

如圖，C、D是兩個(gè)小區(qū)所在地，C、D到一條公路AB的垂直距離分別為CA=1km，DB=2km，AB兩端之間的距離為6km．

（1）如圖1，某移動(dòng)公司將在AB之間找一點(diǎn)P，在P處建造一個(gè)信號塔，使得P對A、C的張角與P對B、D的張角相等，試確定點(diǎn)P的位置．
（2）如圖2，環(huán)保部門將在AB之間找一點(diǎn)Q，在Q處建造一個(gè)垃圾處理廠，使得Q對C、D所張角最大，試確定點(diǎn)Q的位置．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（1）設(shè)出PA的長度x，把∠CPA，∠DPB的正切值用含x的代數(shù)式表示，由正切值相等求得x的值，即可確定P點(diǎn)的位置；
（2）設(shè)出PA的長度x，把∠CQA與∠DQB的正切值用含有x的代數(shù)式表示，最后把∠CQD的正切值用含有x的代數(shù)式表示，換元后再利用基本不等式求最值，最后得到使Q對C、D所張角最大時(shí)的x值，即可確定點(diǎn)Q的位置．

解答： 解：（1）設(shè)PA=x，∠CPA=α，∠DPB=β．
依題意有tanα=

1

x

，tanβ=

2

6-x

．
由tanα=tanβ，得

1

x

=

2

6-x

，解得x=2，故點(diǎn)P應(yīng)選在距A點(diǎn)2km處；
（2）設(shè)PA=x，∠CQA=α，∠DQB=β．
依題意有tanα=

1

x

，tanβ=

2

6-x

，
tan∠CQD=tan[π-（α+β）]=-tan（α+β）=-

1 x + 2 6-x

1- 1 x • 2 6-x

=

x+6

x2-6x+2

，
令t=x+6，由0＜x＜6，得6＜t＜12，
則tan∠CQD=

x+6

x2-6x+2

=

t

t2-18t+74

=

1

t+ 74 t -18

，
∵2

74

≤t+

74

t

＜6+

74

6

=

55

3

，
∴2

74

-18≤t+

74

t

-18＜

1

3

，
當(dāng)2

74

-18≤t+

74

t

-18＜0時(shí)，所張的角為鈍角，
當(dāng)t=

74

，即x=

74

-6時(shí)取得最大角，
故點(diǎn)Q應(yīng)選在距A點(diǎn)

74

-6km處．

點(diǎn)評：本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查了利用基本不等式求最值，解答的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，是中檔題．