(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值所組成的集合A;
(Ⅱ)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩根為x1、x2試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對(duì)任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(21)本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式等有關(guān)知識(shí),考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.
解:(Ⅰ)f′(x)==,
∵f(x)在[-1,1]上是增函數(shù),
∴f′(x)≥0對(duì)x∈[-1,1]恒成立,
即對(duì)x∈[-1,1]恒成立. ①
設(shè)(x)=x2-ax-2,
方法一:
∵對(duì)x∈[-1,1],f(x)是連續(xù)函數(shù),且只有當(dāng)a=1時(shí),f′(-1)=0以及當(dāng)a=-1時(shí),f′(1)=0,
∴A={a|-1≤a≤1}.
方法二:
0≤a≤1或-1≤a<0
-1≤a≤1.
∵對(duì)x∈[-1,1],f(x)是連續(xù)函數(shù),且只有當(dāng)a=1時(shí),f′(-1)=0以及當(dāng)a=-1時(shí),f′(1)=0,
∴A={a|-1≤a≤1}.
(Ⅱ)由=,得x2-ax-2=0,
∵Δ=a2+8>0,
∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的兩實(shí)根.
∴從而|x1-x2|==.
∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|=≤3.
要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對(duì)任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
當(dāng)且僅當(dāng)m2+tm+1≥3對(duì)任意t∈[-1,1]恒成立,
即m2+tm-2≥0對(duì)任意t∈[-1,1]恒成立. ②
設(shè)g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),
方法一:
m≥2或m≤-2
所以,存在實(shí)數(shù)m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對(duì)任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范圍是{m|m≥2或m≤-2}.
方法二:
當(dāng)m=0時(shí),②顯然不成立;
當(dāng)m≠0時(shí),
所以,存在實(shí)數(shù)m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對(duì)任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范圍是{m|m≥2或m≤-2}.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
2 |
1-x |
A、y軸 | B、x軸 |
C、原點(diǎn) | D、直線y=x |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:浙江省嘉興市第一中學(xué)2011-2012學(xué)年高二下學(xué)期摸底試卷數(shù)學(xué)文科試題 題型:022
已知f(x)是定義在R上的增函數(shù),函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱.若對(duì)任意的x,y∈R,不等式f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0恒成立,則當(dāng)x>3時(shí),x2+y2的取值范圍是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題
2 |
1-x |
A.y軸 | B.x軸 | C.原點(diǎn) | D.直線y=x |
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