Question

4．已知函數(shù)f（x）為定義域在（0，+∞）上的增函數(shù)，且f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），求使f（x）+f（x-3）＜2的x的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系，將不等式進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：∵f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1
∴f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2）=2，
即f（4）=2，
則f（x）+f（x-3）＜2等價為f[x（x-3）]＜f（4），
∵函數(shù)f（x）為定義域在（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-3＞0}\\{x（x-3）＜4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞3}\\{-1＜x＜4}\end{array}\right.$，即3＜x＜4，
即f（x）+f（x-3）＜2的x的取值范圍是（3，4）．

點評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系，利用轉(zhuǎn)化法將不等式進行求解是解決本題的關(guān)鍵．