Question

19．如圖，半球O內有一內接正三棱錐A-BCD（底面△BCD為等邊三角形，頂點A在底面的射影為ABCD的中心），且△BCD內接于圓O，當半球O的體積為2$\sqrt{3}$π時，三棱錐A-BCD的所有棱長之和為9+3$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 利用半球O的體積為2$\sqrt{3}$π，求出球的半徑，根據(jù)正弦定理可得，BC=3，根據(jù)勾股定理求出AD，即可求出三棱錐A-BCD的所有棱長之和．

解答 解：設球的半徑為r，則
∵半球O的體積為2$\sqrt{3}$π，
∴$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=2×2$\sqrt{3}$π，
∴r=$\sqrt{3}$．
連接AO，則AO⊥平面BCD，
根據(jù)正弦定理可得，BC=3，
在Rt△AOD中，AD=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴棱錐A-BCD的所有棱長之和為9+3$\sqrt{6}$．
故答案為：9+3$\sqrt{6}$．

點評 本題考查三棱錐A-BCD的所有棱長之和，考查球的體積公式，考查正弦定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．