Question

4．雙曲線C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦點為F₁，F(xiàn)₂，P為C上任意一點，則以|PF₁|或|PF₂|為直徑的圓與以實軸為直徑的圓一定（　�。�

• A． 相交
• B． 相離
• C． 相切
• D． 內(nèi)含

Answer 1

分析 利用雙曲線的定義，通過圓心距判斷出當點P分別在左、右兩支時，利用兩圓圓心距離和半徑之間的關系判斷兩圓相內(nèi)切、外切．

解答 解：設以實軸|F₁F₂|為直徑的圓的圓心為O₁，其半徑r₁=a，
線段PF₂為直徑的圓的圓心為O₂，其半徑為r₂=$\frac{|P{F}_{2}|}{2}$，
當P在雙曲線左支上時，|O₁O₂|=$\frac{|P{F}_{1}|}{2}$，
∵r₂-|O₁O₂|=$\frac{|P{F}_{2}|}{2}$-$\frac{|P{F}_{1}|}{2}$=a=r₁，
∴兩圓內(nèi)切．
當P在雙曲線右支上時，
|O₁O₂|=$\frac{|P{F}_{1}|}{2}$，
∵|O₁O₂|-r₂=$\frac{|P{F}_{1}|}{2}$-$\frac{|P{F}_{2}|}{2}$=a=r₁，
∴r₁+r₂=|O₁O₂|
∴兩圓外切．
綜上兩圓相切，
故選：C．

點評 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)的應用以及兩圓位置關系的判斷，利用雙曲線的定義結合兩圓位置關系的定義是解決本題的關鍵．注意要對P進行分類討論．