Question

15．在△ABC中，CA=2，CB=6，∠ACB=60°．若點O在∠ACB的角平分線上，滿足$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，m，n∈R，且-$\frac{1}{4}$≤n≤-$\frac{1}{20}$，則|$\overrightarrow{OC}$|的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$]．

Answer 1

分析 可以點C為坐標原點，以邊BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，根據(jù)條件便可求出A，B，C三點的坐標，并設$|\overrightarrow{OC}|=k$，從而得出$O（-\frac{\sqrt{3}k}{2}，\frac{k}{2}）$，進而便可得出向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$的坐標，帶入$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$即可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}k}{2}=（\frac{\sqrt{3}k}{2}-1）m+（\frac{\sqrt{3}k}{2}-6）n}\\{-\frac{k}{2}=（\sqrt{3}-\frac{k}{2}）m-\frac{k}{2}•n}\end{array}\right.$，這樣消去m便可求出n=$\frac{k}{4k-6\sqrt{3}}$，從而由n的范圍即可求出k的范圍，即得出$|\overrightarrow{OC}|$的取值范圍．

解答 解：以C為原點，BC所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則：
C（0，0），$A（-1，\sqrt{3}），B（-6，0）$；
設$|\overrightarrow{OC}|=k$，則$O（-\frac{\sqrt{3}k}{2}，\frac{k}{2}）$；
∴$\overrightarrow{OC}=（\frac{\sqrt{3}k}{2}，-\frac{k}{2}），\overrightarrow{OA}=（\frac{\sqrt{3}k}{2}-1，\sqrt{3}-\frac{k}{2}）$，$\overrightarrow{OB}=（\frac{\sqrt{3}k}{2}-6，-\frac{k}{2}）$；
∴由$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$得，$（\frac{\sqrt{3}k}{2}，-\frac{k}{2}）=m（\frac{\sqrt{3}k}{2}-1，\sqrt{3}-\frac{k}{2}）$$+n（\frac{\sqrt{3}k}{2}-6，-\frac{k}{2}）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}k}{2}=（\frac{\sqrt{3}k}{2}-1）m+（\frac{\sqrt{3}k}{2}-6）n}&{①}\\{-\frac{k}{2}=（\sqrt{3}-\frac{k}{2}）m-\frac{k}{2}•n}&{②}\end{array}\right.$；
①②聯(lián)立消去m得：$k=（4k-6\sqrt{3}）n$；
∴$n=\frac{k}{4k-6\sqrt{3}}$；
∵$-\frac{1}{4}≤n≤-\frac{1}{20}$；
∴$-\frac{1}{4}≤\frac{k}{4k-6\sqrt{3}}≤-\frac{1}{20}$；
解得$\frac{\sqrt{3}}{4}≤k≤\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
∴$|\overrightarrow{OC}|$的取值范圍為$[\frac{\sqrt{3}}{4}，\frac{3\sqrt{3}}{4}]$．
故答案為：$[\frac{\sqrt{3}}{4}，\frac{3\sqrt{3}}{4}]$．

點評 考查通過建立平面直角坐標系，利用向量坐標解決向量問題的方法，能求平面上點的坐標，根據(jù)點的坐標可求向量坐標，向量坐標的數(shù)乘運算，消元法解二元一次方程組的方法，以及分式不等式的解法．