Question

某漁業(yè)公司年初用98萬元購進一艘漁船用于捕撈，第一年需各種費用12萬元，從第二年開始包括維修費在內(nèi)，每年所需費用均比上一年增加4萬元，該船每年捕撈的總收入為50萬元．
（1）該船投入捕撈后第幾年開始贏利？
（2）該船投入捕撈多少年后，贏利總額達到最大值？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)年初用98萬元購進一艘漁船，第一年需各種費用12萬元，從第二年開始包括維修費在內(nèi)，每年所需費用均比上一年增加4萬元，該船每年捕撈的總收入為50萬元．可得該船投入捕撈n年后的贏利總額為f(n)=50n-98-[12n+

n(n-1)

2

×4]，進而可建立不等式，從而可求該船投入捕撈后第幾年開始贏利；
（2）對f(n)=50n-98-[12n+

n(n-1)

2

×4]化簡，再進行配方，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)該船投入捕撈后第n年開始贏利，
∵年初用98萬元購進一艘漁船，第一年需各種費用12萬元，從第二年開始包括維修費在內(nèi)，每年所需費用均比上一年增加4萬元，該船每年捕撈的總收入為50萬元．
∴要使該船投入捕撈后第n年開始贏利，則50n-98-[12n+

n(n-1)

2

×4]＞0
  化簡得n²-20n+49＜0
解得10-

51

＜n＜10+

51

所以，第3年開始贏利；
（2）設(shè)該船投入捕撈n年后的贏利總額為f（n），則
f(n)=50n-98-[12n+

n(n-1)

2

×4]=-2n²+40n-98=-2（n-10）²+102
所以，投入捕撈10年后贏利總額達到最大．

點評：本題考查的重點是函數(shù)模型的構(gòu)建，解題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用配方法求二次函數(shù)的最值．