Question

當(dāng)α∈（0，π）時(shí)，方程x²cosα+y²=1表示的曲線的形狀怎樣變化？

Answer 1

分析：根據(jù)cosα符號(hào)，對(duì)角α分三類進(jìn)行討論，由直線、橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷對(duì)應(yīng)曲線的具體形狀．

解答：解：由題意可得：
①當(dāng)0＜α＜

π

2

時(shí)，方程x²cosα+y²=1可以化簡(jiǎn)為：

x2

1 cosα

+y2=1．
并且有：0＜cosα＜1，則

1

cosα

＞1，所以方程x²cosα+y²=1表示中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
②當(dāng)α=

π

2

時(shí)，cosα=0，方程為x²=1，得x=±1表示與y軸平行的兩條直線；
③當(dāng)

π

2

＜α＜π時(shí)，方程x²cosα+y²=1可以化簡(jiǎn)為：

x2

1 cosα

+y2=1．
并且有：cosα＜0，方程x²cosα+y²=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了方程含有參數(shù)時(shí)討論表示的曲線問題，需要根據(jù)系數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類討論，分別再由直線、橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷對(duì)應(yīng)曲線的具體形狀，考查了分類討論思想